Номер 16.48, страница 390 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел - номер 16.48, страница 390.

Условие.

16.48 a) $|z - 3| = 2;$

б) $|z - 3| \leq 2;$

в) $|z - 3| \geq 2;$

г) $|z - i| = 2;$

д) $|z - i| \leq 2;$

е) $|z - i| \geq 2;$

ж) $1 \leq |z + 1| < 3;$

з) $1 \leq |z - i| < 4;$

и) $1 \leq |z - 1 - i| \leq 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

В данной задаче требуется определить геометрическое место точек на комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным уравнениям и неравенствам. Комплексное число $z$ можно представить в виде $z = x + iy$, где $x$ и $y$ — действительные числа. Величина $|z - z_0|$ представляет собой расстояние между точками, соответствующими комплексным числам $z$ и $z_0$ на комплексной плоскости.

а) $|z - 3| = 2$

Это уравнение описывает множество всех точек $z$, расстояние от которых до точки $z_0 = 3$ равно 2. На комплексной плоскости точка $z_0=3$ соответствует точке с координатами $(3, 0)$. Таким образом, данное уравнение задает окружность с центром в точке $(3, 0)$ и радиусом $R=2$. Если представить $z = x + iy$, то уравнение принимает вид: $| (x + iy) - 3 | = 2$ $| (x - 3) + iy | = 2$ $\sqrt{(x - 3)^2 + y^2} = 2$ Возводя в квадрат обе части, получаем каноническое уравнение окружности: $(x - 3)^2 + y^2 = 4$

Ответ: Окружность с центром в точке $(3, 0)$ и радиусом 2.

б) $|z - 3| \le 2$

Это неравенство описывает множество всех точек $z$, расстояние от которых до точки $z_0 = 3$ не превышает 2. Геометрически это представляет собой круг с центром в точке $(3, 0)$ и радиусом $R=2$, включая его границу (окружность). В координатах $x, y$ неравенство выглядит так: $(x - 3)^2 + y^2 \le 4$

Ответ: Круг с центром в точке $(3, 0)$ и радиусом 2, включая границу.

в) $|z - 3| \ge 2$

Это неравенство описывает множество всех точек $z$, расстояние от которых до точки $z_0 = 3$ не меньше 2. Это все точки комплексной плоскости, которые лежат на окружности с центром в $(3, 0)$ и радиусом $R=2$ или вне ее. В координатах $x, y$ неравенство выглядит так: $(x - 3)^2 + y^2 \ge 4$

Ответ: Множество точек, лежащих на окружности с центром в точке $(3, 0)$ и радиусом 2 и вне ее.

г) $|z - i| = 2$

Это уравнение описывает множество всех точек $z$, расстояние от которых до точки $z_0 = i$ равно 2. Точка $z_0=i$ имеет координаты $(0, 1)$. Это окружность с центром в точке $(0, 1)$ и радиусом $R=2$. Если $z = x + iy$: $| x + i(y - 1) | = 2$ $\sqrt{x^2 + (y - 1)^2} = 2$ $x^2 + (y - 1)^2 = 4$

Ответ: Окружность с центром в точке $(0, 1)$ и радиусом 2.

д) $|z - i| \le 2$

Это неравенство описывает множество всех точек $z$, расстояние от которых до точки $z_0 = i$ (т.е. $(0, 1)$) не превышает 2. Это круг с центром в точке $(0, 1)$ и радиусом $R=2$, включая его границу. В координатах $x, y$: $x^2 + (y - 1)^2 \le 4$

Ответ: Круг с центром в точке $(0, 1)$ и радиусом 2, включая границу.

е) $|z - i| \ge 2$

Это неравенство описывает множество всех точек $z$, расстояние от которых до точки $z_0 = i$ (т.е. $(0, 1)$) не меньше 2. Это все точки комплексной плоскости, которые лежат на окружности с центром в $(0, 1)$ и радиусом $R=2$ или вне ее. В координатах $x, y$: $x^2 + (y - 1)^2 \ge 4$

Ответ: Множество точек, лежащих на окружности с центром в точке $(0, 1)$ и радиусом 2 и вне ее.

ж) $1 \le |z + 1| < 3$

Это двойное неравенство можно переписать как $1 \le |z - (-1)| < 3$. Оно описывает множество точек $z$, расстояние от которых до точки $z_0 = -1$ (т.е. $(-1, 0)$) больше или равно 1 и строго меньше 3. Геометрически это кольцо с центром в точке $(-1, 0)$. Внутренняя граница, окружность $|z + 1| = 1$, принадлежит множеству. Внешняя граница, окружность $|z + 1| = 3$, не принадлежит множеству. В координатах $x, y$ ($z = x + iy$): $1 \le |(x + 1) + iy| < 3$ $1 \le \sqrt{(x + 1)^2 + y^2} < 3$ $1 \le (x + 1)^2 + y^2 < 9$

Ответ: Кольцо с центром в точке $(-1, 0)$, внутренним радиусом $R_1=1$ (включая границу) и внешним радиусом $R_2=3$ (не включая границу).

з) $1 \le |z - i| \le 4$

Это двойное неравенство описывает множество точек $z$, расстояние от которых до точки $z_0 = i$ (т.е. $(0, 1)$) находится в пределах от 1 до 4, включая обе границы. Это замкнутое кольцо с центром в точке $(0, 1)$, внутренним радиусом $R_1=1$ и внешним радиусом $R_2=4$. В координатах $x, y$: $1 \le |x + i(y - 1)| \le 4$ $1 \le \sqrt{x^2 + (y - 1)^2} \le 4$ $1 \le x^2 + (y - 1)^2 \le 16$

Ответ: Замкнутое кольцо с центром в точке $(0, 1)$, внутренним радиусом 1 и внешним радиусом 4.

и) $1 \le |z - 1 - i| \le 2$

Это двойное неравенство можно переписать как $1 \le |z - (1 + i)| \le 2$. Оно описывает множество точек $z$, расстояние от которых до точки $z_0 = 1 + i$ (т.е. $(1, 1)$) находится в пределах от 1 до 2, включая обе границы. Это замкнутое кольцо с центром в точке $(1, 1)$, внутренним радиусом $R_1=1$ и внешним радиусом $R_2=2$. В координатах $x, y$ ($z = x + iy$): $1 \le |(x - 1) + i(y - 1)| \le 2$ $1 \le \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 1)^2} \le 2$ $1 \le (x - 1)^2 + (y - 1)^2 \le 4$

Ответ: Замкнутое кольцо с центром в точке $(1, 1)$, внутренним радиусом 1 и внешним радиусом 2.