Номер 17.2, страница 394 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 17.2, страница 394.

Условие.

17.2 Приведите пример комплексного числа, записанного в тригонометрической форме.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

17.2

Тригонометрическая форма комплексного числа $z$ имеет вид: $z = r(\cos(\varphi) + i \sin(\varphi))$, где $r$ — модуль комплексного числа (неотрицательное действительное число), а $\varphi$ — его аргумент (действительное число, угол).

Чтобы привести пример, мы можем взять любое комплексное число в стандартной алгебраической форме $z = a + bi$ и преобразовать его в тригонометрическую. Выберем для примера число $z = 1 + i\sqrt{3}$.

Здесь действительная часть $a = 1$, а мнимая часть $b = \sqrt{3}$.

1. Найдем модуль $r$.
Модуль вычисляется по формуле $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
Подставив наши значения, получаем:
$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

2. Найдем аргумент $\varphi$.
Аргумент определяется из системы уравнений: $\cos(\varphi) = \frac{a}{r}$ и $\sin(\varphi) = \frac{b}{r}$.
Подставим наши значения $a, b$ и найденный модуль $r$:
$\cos(\varphi) = \frac{1}{2}$
$\sin(\varphi) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Угол $\varphi$, для которого выполняются оба этих условия, равен $\frac{\pi}{3}$ (или 60°).

3. Запишем число в тригонометрической форме.
Теперь подставим найденные значения модуля $r=2$ и аргумента $\varphi = \frac{\pi}{3}$ в общую формулу тригонометрической записи:
$z = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{3}))$.

Это выражение и является примером комплексного числа, записанного в тригонометрической форме.

Ответ: $2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{3}))$.