Номер 17.4, страница 394 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 17.4, страница 394.

Условие.

17.4 а) $z=1$;

б) $z=-2$;

в) $z=i$;

г) $z=-3i$;

д) $z=1+i$;

е) $z=1-i$;

ж) $z=-1+i$;

з) $z=-1-i$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для представления комплексного числа $z = x + iy$ в тригонометрической форме $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$ необходимо найти его модуль $r$ и аргумент $\varphi$.

Модуль вычисляется по формуле: $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Аргумент $\varphi$ находится из системы уравнений: $\cos \varphi = \frac{x}{r}$ и $\sin \varphi = \frac{y}{r}$.

---

а) $z = 1$

Представим комплексное число в алгебраической форме $z = x + iy$. В данном случае $x = 1$, $y = 0$.

Найдем модуль комплексного числа $r$:
$r = |z| = \sqrt{1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$.

Найдем аргумент $\varphi$ из соотношений:
$\cos \varphi = \frac{x}{r} = \frac{1}{1} = 1$
$\sin \varphi = \frac{y}{r} = \frac{0}{1} = 0$

Отсюда следует, что аргумент $\varphi = 0$.

Таким образом, тригонометрическая форма числа:
$z = 1(\cos 0 + i \sin 0)$.

Ответ: $z = \cos 0 + i \sin 0$.

б) $z = -2$

В данном случае $x = -2$, $y = 0$.

Найдем модуль комплексного числа $r$:
$r = |z| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем аргумент $\varphi$ из соотношений:
$\cos \varphi = \frac{x}{r} = \frac{-2}{2} = -1$
$\sin \varphi = \frac{y}{r} = \frac{0}{2} = 0$

Отсюда следует, что аргумент $\varphi = \pi$.

Таким образом, тригонометрическая форма числа:
$z = 2(\cos \pi + i \sin \pi)$.

Ответ: $z = 2(\cos \pi + i \sin \pi)$.

в) $z = i$

В данном случае $x = 0$, $y = 1$.

Найдем модуль комплексного числа $r$:
$r = |z| = \sqrt{0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$.

Найдем аргумент $\varphi$ из соотношений:
$\cos \varphi = \frac{x}{r} = \frac{0}{1} = 0$
$\sin \varphi = \frac{y}{r} = \frac{1}{1} = 1$

Отсюда следует, что аргумент $\varphi = \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, тригонометрическая форма числа:
$z = 1(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2})$.

Ответ: $z = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}$.

г) $z = -3i$

В данном случае $x = 0$, $y = -3$.

Найдем модуль комплексного числа $r$:
$r = |z| = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = \sqrt{9} = 3$.

Найдем аргумент $\varphi$ из соотношений:
$\cos \varphi = \frac{x}{r} = \frac{0}{3} = 0$
$\sin \varphi = \frac{y}{r} = \frac{-3}{3} = -1$

Отсюда следует, что аргумент $\varphi = -\frac{\pi}{2}$.

Таким образом, тригонометрическая форма числа:
$z = 3(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}))$.

Ответ: $z = 3(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}))$.

д) $z = 1 + i$

В данном случае $x = 1$, $y = 1$.

Найдем модуль комплексного числа $r$:
$r = |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Найдем аргумент $\varphi$ из соотношений:
$\cos \varphi = \frac{x}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin \varphi = \frac{y}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Отсюда следует, что аргумент $\varphi = \frac{\pi}{4}$.

Таким образом, тригонометрическая форма числа:
$z = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$.

Ответ: $z = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$.

е) $z = 1 - i$

В данном случае $x = 1$, $y = -1$.

Найдем модуль комплексного числа $r$:
$r = |z| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.

Найдем аргумент $\varphi$ из соотношений:
$\cos \varphi = \frac{x}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin \varphi = \frac{y}{r} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Отсюда следует, что аргумент $\varphi = -\frac{\pi}{4}$.

Таким образом, тригонометрическая форма числа:
$z = \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i \sin(-\frac{\pi}{4}))$.

Ответ: $z = \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i \sin(-\frac{\pi}{4}))$.

ж) $z = -1 + i$

В данном случае $x = -1$, $y = 1$.

Найдем модуль комплексного числа $r$:
$r = |z| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Найдем аргумент $\varphi$ из соотношений:
$\cos \varphi = \frac{x}{r} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin \varphi = \frac{y}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Отсюда следует, что аргумент $\varphi = \frac{3\pi}{4}$.

Таким образом, тригонометрическая форма числа:
$z = \sqrt{2}(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4})$.

Ответ: $z = \sqrt{2}(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4})$.

з) $z = -1 - i$

В данном случае $x = -1$, $y = -1$.

Найдем модуль комплексного числа $r$:
$r = |z| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.

Найдем аргумент $\varphi$ из соотношений:
$\cos \varphi = \frac{x}{r} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin \varphi = \frac{y}{r} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Отсюда следует, что аргумент $\varphi = -\frac{3\pi}{4}$.

Таким образом, тригонометрическая форма числа:
$z = \sqrt{2}(\cos(-\frac{3\pi}{4}) + i \sin(-\frac{3\pi}{4}))$.

Ответ: $z = \sqrt{2}(\cos(-\frac{3\pi}{4}) + i \sin(-\frac{3\pi}{4}))$.