Номер 17.10, страница 395 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел - номер 17.10, страница 395.

Условие.

17.10 a) $z = \sqrt{3} + i;$

б) $z = \sqrt{3} - i;$

в) $z = -\sqrt{3} + i;$

г) $z = -\sqrt{3} - i;$

д) $z = 1 + \sqrt{3}i;$

е) $z = 1 - \sqrt{3}i.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для представления комплексного числа $z = x + iy$ в тригонометрической форме $z = r(\cos\phi + i\sin\phi)$, необходимо найти его модуль $r$ и аргумент $\phi$. Модуль вычисляется по формуле $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Аргумент $\phi$ (обычно в пределах от $-\pi$ до $\pi$) находится из системы уравнений $\cos\phi = \frac{x}{r}$ и $\sin\phi = \frac{y}{r}$, с учетом четверти, в которой расположено число на комплексной плоскости.

а) $z = \sqrt{3} + i$

Здесь действительная часть $x = \sqrt{3}$, мнимая часть $y = 1$.Вычисляем модуль числа: $r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.Находим аргумент $\phi$: $\cos\phi = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\phi = \frac{1}{2}$.Так как $x > 0$ и $y > 0$, точка находится в I четверти, следовательно, $\phi = \frac{\pi}{6}$.Тригонометрическая форма числа: $z = 2(\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}))$.

Ответ: $z = 2(\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}))$.

б) $z = \sqrt{3} - i$

Здесь действительная часть $x = \sqrt{3}$, мнимая часть $y = -1$.Вычисляем модуль числа: $r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.Находим аргумент $\phi$: $\cos\phi = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\phi = \frac{-1}{2}$.Так как $x > 0$ и $y < 0$, точка находится в IV четверти, следовательно, $\phi = -\frac{\pi}{6}$.Тригонометрическая форма числа: $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))$.

Ответ: $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))$.

в) $z = -\sqrt{3} + i$

Здесь действительная часть $x = -\sqrt{3}$, мнимая часть $y = 1$.Вычисляем модуль числа: $r = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.Находим аргумент $\phi$: $\cos\phi = \frac{-\sqrt{3}}{2}$, $\sin\phi = \frac{1}{2}$.Так как $x < 0$ и $y > 0$, точка находится во II четверти, следовательно, $\phi = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.Тригонометрическая форма числа: $z = 2(\cos(\frac{5\pi}{6}) + i\sin(\frac{5\pi}{6}))$.

Ответ: $z = 2(\cos(\frac{5\pi}{6}) + i\sin(\frac{5\pi}{6}))$.

г) $z = -\sqrt{3} - i$

Здесь действительная часть $x = -\sqrt{3}$, мнимая часть $y = -1$.Вычисляем модуль числа: $r = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.Находим аргумент $\phi$: $\cos\phi = \frac{-\sqrt{3}}{2}$, $\sin\phi = \frac{-1}{2}$.Так как $x < 0$ и $y < 0$, точка находится в III четверти, следовательно, $\phi = -\pi + \frac{\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6}$.Тригонометрическая форма числа: $z = 2(\cos(-\frac{5\pi}{6}) + i\sin(-\frac{5\pi}{6}))$.

Ответ: $z = 2(\cos(-\frac{5\pi}{6}) + i\sin(-\frac{5\pi}{6}))$.

д) $z = 1 + i\sqrt{3}$

Здесь действительная часть $x = 1$, мнимая часть $y = \sqrt{3}$.Вычисляем модуль числа: $r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.Находим аргумент $\phi$: $\cos\phi = \frac{1}{2}$, $\sin\phi = \frac{\sqrt{3}}{2}$.Так как $x > 0$ и $y > 0$, точка находится в I четверти, следовательно, $\phi = \frac{\pi}{3}$.Тригонометрическая форма числа: $z = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))$.

Ответ: $z = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))$.

е) $z = 1 - i\sqrt{3}$

Здесь действительная часть $x = 1$, мнимая часть $y = -\sqrt{3}$.Вычисляем модуль числа: $r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.Находим аргумент $\phi$: $\cos\phi = \frac{1}{2}$, $\sin\phi = \frac{-\sqrt{3}}{2}$.Так как $x > 0$ и $y < 0$, точка находится в IV четверти, следовательно, $\phi = -\frac{\pi}{3}$.Тригонометрическая форма числа: $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))$.

Ответ: $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))$.