Номер 17.12, страница 395 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 17.12, страница 395.
№17.12 (с. 395)
Условие. №17.12 (с. 395)
скриншот условия

17.12 Запишите формулу Муавра для возведения любого отличного от нуля комплексного числа $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$ в степень с целым показателем $n$.
Решение 1. №17.12 (с. 395)

Решение 2. №17.12 (с. 395)

Решение 4. №17.12 (с. 395)
Для того чтобы возвести комплексное число $z$, представленное в тригонометрической форме $z = r(\cos \phi + i \sin \phi)$, в целую степень $n$, используется формула Муавра. Здесь $r$ — модуль комплексного числа ($r > 0$), а $\phi$ — его аргумент.
Процесс возведения в степень выглядит следующим образом:
$z^n = [r(\cos \phi + i \sin \phi)]^n$
Используя свойство степени произведения, мы можем возвести в степень $n$ каждый множитель по отдельности:
$z^n = r^n (\cos \phi + i \sin \phi)^n$
Далее применяется непосредственно формула Муавра, которая утверждает, что для любого целого числа $n$ и любого вещественного числа $\phi$ справедливо следующее равенство:
$(\cos \phi + i \sin \phi)^n = \cos(n\phi) + i\sin(n\phi)$
Подставив это соотношение в наше выражение для $z^n$, мы получим общую формулу для возведения комплексного числа в целую степень:
$z^n = r^n (\cos(n\phi) + i\sin(n\phi))$
Это правило можно сформулировать словами: при возведении комплексного числа в тригонометрической форме в степень $n$, его модуль возводится в ту же степень $n$, а его аргумент умножается на показатель степени $n$.
Ответ: Формула Муавра для возведения любого отличного от нуля комплексного числа $z = r(\cos \phi + i \sin \phi)$ в степень с целым показателем $n$ имеет вид: $z^n = r^n(\cos(n\phi) + i\sin(n\phi))$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 17.12 расположенного на странице 395 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №17.12 (с. 395), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.