Номер 17.12, страница 395 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел - номер 17.12, страница 395.

Условие.

17.12 Запишите формулу Муавра для возведения любого отличного от нуля комплексного числа $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$ в степень с целым показателем $n$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для того чтобы возвести комплексное число $z$, представленное в тригонометрической форме $z = r(\cos \phi + i \sin \phi)$, в целую степень $n$, используется формула Муавра. Здесь $r$ — модуль комплексного числа ($r > 0$), а $\phi$ — его аргумент.

Процесс возведения в степень выглядит следующим образом:
$z^n = [r(\cos \phi + i \sin \phi)]^n$

Используя свойство степени произведения, мы можем возвести в степень $n$ каждый множитель по отдельности:
$z^n = r^n (\cos \phi + i \sin \phi)^n$

Далее применяется непосредственно формула Муавра, которая утверждает, что для любого целого числа $n$ и любого вещественного числа $\phi$ справедливо следующее равенство:
$(\cos \phi + i \sin \phi)^n = \cos(n\phi) + i\sin(n\phi)$

Подставив это соотношение в наше выражение для $z^n$, мы получим общую формулу для возведения комплексного числа в целую степень:
$z^n = r^n (\cos(n\phi) + i\sin(n\phi))$

Это правило можно сформулировать словами: при возведении комплексного числа в тригонометрической форме в степень $n$, его модуль возводится в ту же степень $n$, а его аргумент умножается на показатель степени $n$.

Ответ: Формула Муавра для возведения любого отличного от нуля комплексного числа $z = r(\cos \phi + i \sin \phi)$ в степень с целым показателем $n$ имеет вид: $z^n = r^n(\cos(n\phi) + i\sin(n\phi))$.