Номер 17.13, страница 395 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел - номер 17.13, страница 395.

Условие.

17.13 Возведите в степень 3 комплексное число:

a) $\cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3}$;

б) $2 \left(\cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4}\right)$;

в) $3 \left(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}\right)$;

г) $4 \left(\cos \frac{7\pi}{6} + i \sin \frac{7\pi}{6}\right)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для возведения комплексного числа, заданного в тригонометрической форме $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, в степень $n$ используется формула Муавра:

$z^n = [r(\cos \varphi + i \sin \varphi)]^n = r^n(\cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi))$

Применим эту формулу для каждого из заданных чисел, возводя их в степень $n=3$.

а) Дано комплексное число $z = \cos\frac{5\pi}{3} + i \sin\frac{5\pi}{3}$.

Здесь модуль $r=1$, аргумент $\varphi = \frac{5\pi}{3}$.

Возводим в третью степень:

$z^3 = \left(\cos\frac{5\pi}{3} + i \sin\frac{5\pi}{3}\right)^3 = 1^3 \left(\cos\left(3 \cdot \frac{5\pi}{3}\right) + i \sin\left(3 \cdot \frac{5\pi}{3}\right)\right)$

$z^3 = \cos(5\pi) + i \sin(5\pi)$

Так как $5\pi = \pi + 2 \cdot 2\pi$, то $\cos(5\pi) = \cos(\pi) = -1$ и $\sin(5\pi) = \sin(\pi) = 0$.

В результате получаем: $z^3 = -1 + i \cdot 0 = -1$.

Ответ: $-1$.

б) Дано комплексное число $z = 2\left(\cos\frac{5\pi}{4} + i \sin\frac{5\pi}{4}\right)$.

Здесь модуль $r=2$, аргумент $\varphi = \frac{5\pi}{4}$.

Возводим в третью степень:

$z^3 = \left[2\left(\cos\frac{5\pi}{4} + i \sin\frac{5\pi}{4}\right)\right]^3 = 2^3 \left(\cos\left(3 \cdot \frac{5\pi}{4}\right) + i \sin\left(3 \cdot \frac{5\pi}{4}\right)\right)$

$z^3 = 8\left(\cos\frac{15\pi}{4} + i \sin\frac{15\pi}{4}\right)$

Упростим аргумент: $\frac{15\pi}{4} = \frac{16\pi - \pi}{4} = 4\pi - \frac{\pi}{4}$. Этот угол эквивалентен углу $-\frac{\pi}{4}$.

$\cos\left(\frac{15\pi}{4}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin\left(\frac{15\pi}{4}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставляем значения: $z^3 = 8\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 4\sqrt{2} - 4\sqrt{2}i$.

Ответ: $4\sqrt{2} - 4\sqrt{2}i$.

в) Дано комплексное число $z = 3\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i \sin\frac{2\pi}{3}\right)$.

Здесь модуль $r=3$, аргумент $\varphi = \frac{2\pi}{3}$.

Возводим в третью степень:

$z^3 = \left[3\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i \sin\frac{2\pi}{3}\right)\right]^3 = 3^3 \left(\cos\left(3 \cdot \frac{2\pi}{3}\right) + i \sin\left(3 \cdot \frac{2\pi}{3}\right)\right)$

$z^3 = 27(\cos(2\pi) + i \sin(2\pi))$

$\cos(2\pi) = 1$ и $\sin(2\pi) = 0$.

В результате получаем: $z^3 = 27(1 + i \cdot 0) = 27$.

Ответ: $27$.

г) Дано комплексное число $z = 4\left(\cos\frac{7\pi}{6} + i \sin\frac{7\pi}{6}\right)$.

Здесь модуль $r=4$, аргумент $\varphi = \frac{7\pi}{6}$.

Возводим в третью степень:

$z^3 = \left[4\left(\cos\frac{7\pi}{6} + i \sin\frac{7\pi}{6}\right)\right]^3 = 4^3 \left(\cos\left(3 \cdot \frac{7\pi}{6}\right) + i \sin\left(3 \cdot \frac{7\pi}{6}\right)\right)$

$z^3 = 64\left(\cos\frac{21\pi}{6} + i \sin\frac{21\pi}{6}\right) = 64\left(\cos\frac{7\pi}{2} + i \sin\frac{7\pi}{2}\right)$

Упростим аргумент: $\frac{7\pi}{2} = \frac{4\pi + 3\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{2}$. Этот угол эквивалентен углу $\frac{3\pi}{2}$.

$\cos\left(\frac{7\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$

$\sin\left(\frac{7\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$

Подставляем значения: $z^3 = 64(0 + i(-1)) = -64i$.

Ответ: $-64i$.