Номер 17.13, страница 395 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 17.13, страница 395.
№17.13 (с. 395)
Условие. №17.13 (с. 395)
скриншот условия

17.13 Возведите в степень 3 комплексное число:
a) $\cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3}$;
б) $2 \left(\cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4}\right)$;
в) $3 \left(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}\right)$;
г) $4 \left(\cos \frac{7\pi}{6} + i \sin \frac{7\pi}{6}\right)$.
Решение 1. №17.13 (с. 395)




Решение 2. №17.13 (с. 395)

Решение 4. №17.13 (с. 395)
Для возведения комплексного числа, заданного в тригонометрической форме $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, в степень $n$ используется формула Муавра:
$z^n = [r(\cos \varphi + i \sin \varphi)]^n = r^n(\cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi))$
Применим эту формулу для каждого из заданных чисел, возводя их в степень $n=3$.
а) Дано комплексное число $z = \cos\frac{5\pi}{3} + i \sin\frac{5\pi}{3}$.
Здесь модуль $r=1$, аргумент $\varphi = \frac{5\pi}{3}$.
Возводим в третью степень:
$z^3 = \left(\cos\frac{5\pi}{3} + i \sin\frac{5\pi}{3}\right)^3 = 1^3 \left(\cos\left(3 \cdot \frac{5\pi}{3}\right) + i \sin\left(3 \cdot \frac{5\pi}{3}\right)\right)$
$z^3 = \cos(5\pi) + i \sin(5\pi)$
Так как $5\pi = \pi + 2 \cdot 2\pi$, то $\cos(5\pi) = \cos(\pi) = -1$ и $\sin(5\pi) = \sin(\pi) = 0$.
В результате получаем: $z^3 = -1 + i \cdot 0 = -1$.
Ответ: $-1$.
б) Дано комплексное число $z = 2\left(\cos\frac{5\pi}{4} + i \sin\frac{5\pi}{4}\right)$.
Здесь модуль $r=2$, аргумент $\varphi = \frac{5\pi}{4}$.
Возводим в третью степень:
$z^3 = \left[2\left(\cos\frac{5\pi}{4} + i \sin\frac{5\pi}{4}\right)\right]^3 = 2^3 \left(\cos\left(3 \cdot \frac{5\pi}{4}\right) + i \sin\left(3 \cdot \frac{5\pi}{4}\right)\right)$
$z^3 = 8\left(\cos\frac{15\pi}{4} + i \sin\frac{15\pi}{4}\right)$
Упростим аргумент: $\frac{15\pi}{4} = \frac{16\pi - \pi}{4} = 4\pi - \frac{\pi}{4}$. Этот угол эквивалентен углу $-\frac{\pi}{4}$.
$\cos\left(\frac{15\pi}{4}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin\left(\frac{15\pi}{4}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Подставляем значения: $z^3 = 8\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 4\sqrt{2} - 4\sqrt{2}i$.
Ответ: $4\sqrt{2} - 4\sqrt{2}i$.
в) Дано комплексное число $z = 3\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i \sin\frac{2\pi}{3}\right)$.
Здесь модуль $r=3$, аргумент $\varphi = \frac{2\pi}{3}$.
Возводим в третью степень:
$z^3 = \left[3\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i \sin\frac{2\pi}{3}\right)\right]^3 = 3^3 \left(\cos\left(3 \cdot \frac{2\pi}{3}\right) + i \sin\left(3 \cdot \frac{2\pi}{3}\right)\right)$
$z^3 = 27(\cos(2\pi) + i \sin(2\pi))$
$\cos(2\pi) = 1$ и $\sin(2\pi) = 0$.
В результате получаем: $z^3 = 27(1 + i \cdot 0) = 27$.
Ответ: $27$.
г) Дано комплексное число $z = 4\left(\cos\frac{7\pi}{6} + i \sin\frac{7\pi}{6}\right)$.
Здесь модуль $r=4$, аргумент $\varphi = \frac{7\pi}{6}$.
Возводим в третью степень:
$z^3 = \left[4\left(\cos\frac{7\pi}{6} + i \sin\frac{7\pi}{6}\right)\right]^3 = 4^3 \left(\cos\left(3 \cdot \frac{7\pi}{6}\right) + i \sin\left(3 \cdot \frac{7\pi}{6}\right)\right)$
$z^3 = 64\left(\cos\frac{21\pi}{6} + i \sin\frac{21\pi}{6}\right) = 64\left(\cos\frac{7\pi}{2} + i \sin\frac{7\pi}{2}\right)$
Упростим аргумент: $\frac{7\pi}{2} = \frac{4\pi + 3\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{2}$. Этот угол эквивалентен углу $\frac{3\pi}{2}$.
$\cos\left(\frac{7\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$
$\sin\left(\frac{7\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$
Подставляем значения: $z^3 = 64(0 + i(-1)) = -64i$.
Ответ: $-64i$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 17.13 расположенного на странице 395 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №17.13 (с. 395), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.