Номер 17.20, страница 396 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел - номер 17.20, страница 396.

Условие.

17.20 a) Пусть $z$ — комплексное число: $|z| = 2, \arg z = \frac{\pi}{3}$. Найдите модуль и один из аргументов числа $z^3 - 8i$.

б) Пусть $z$ — комплексное число: $|z| = \frac{1}{2}, \arg z = \frac{\pi}{4}$. Найдите модуль и один из аргументов числа $32z^4 + 2\sqrt{3}i$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Дано комплексное число $z$, для которого $|z| = 2$ и $\arg z = \frac{\pi}{3}$. Требуется найти модуль и один из аргументов комплексного числа $w = z^3 - 8i$.

Для начала найдем $z^3$. Удобно использовать тригонометрическую форму комплексного числа и формулу Муавра. Тригонометрическая форма числа $z$: $z = |z|(\cos(\arg z) + i \sin(\arg z)) = 2\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)$.

По формуле Муавра $z^n = |z|^n(\cos(n\phi) + i \sin(n\phi))$, где $\phi = \arg z$. При $n=3$ получаем: $z^3 = 2^3\left(\cos\left(3 \cdot \frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{3}\right)\right) = 8(\cos(\pi) + i \sin(\pi))$.

Поскольку $\cos(\pi) = -1$ и $\sin(\pi) = 0$, то $z^3 = 8(-1 + i \cdot 0) = -8$.

Теперь мы можем вычислить число $w$: $w = z^3 - 8i = -8 - 8i$.

Найдем модуль числа $w = -8 - 8i$. Для комплексного числа $a+bi$ модуль вычисляется по формуле $|w| = \sqrt{a^2 + b^2}$. $|w| = \sqrt{(-8)^2 + (-8)^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$.

Найдем один из аргументов $\phi$ числа $w$. Для этого определим, в какой четверти комплексной плоскости находится число. Так как действительная часть ($\text{Re}(w) = -8$) и мнимая часть ($\text{Im}(w) = -8$) отрицательны, число находится в третьей четверти. Аргумент можно найти из системы уравнений: $\cos\phi = \frac{\text{Re}(w)}{|w|} = \frac{-8}{8\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin\phi = \frac{\text{Im}(w)}{|w|} = \frac{-8}{8\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ Одно из значений угла, удовлетворяющее этим условиям, это $\phi = -\frac{3\pi}{4}$ (или $\frac{5\pi}{4}$).

Ответ: модуль числа равен $8\sqrt{2}$, один из аргументов равен $-\frac{3\pi}{4}$.

б)

Дано комплексное число $z$, для которого $|z| = \frac{1}{2}$ и $\arg z = \frac{\pi}{4}$. Требуется найти модуль и один из аргументов комплексного числа $W = 32z^4 + 2\sqrt{3}i$.

Сначала вычислим $z^4$, используя формулу Муавра $z^n = |z|^n(\cos(n\phi) + i \sin(n\phi))$: $z^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^4\left(\cos\left(4 \cdot \frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{4}\right)\right) = \frac{1}{16}(\cos(\pi) + i \sin(\pi))$.

Так как $\cos(\pi) = -1$ и $\sin(\pi) = 0$, получаем: $z^4 = \frac{1}{16}(-1 + i \cdot 0) = -\frac{1}{16}$.

Теперь подставим полученное значение в выражение для $W$: $W = 32z^4 + 2\sqrt{3}i = 32\left(-\frac{1}{16}\right) + 2\sqrt{3}i = -2 + 2\sqrt{3}i$.

Найдем модуль числа $W = -2 + 2\sqrt{3}i$: $|W| = \sqrt{(-2)^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 4 \cdot 3} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$.

Найдем один из аргументов $\phi$ числа $W$. Действительная часть $\text{Re}(W) = -2$ отрицательна, а мнимая часть $\text{Im}(W) = 2\sqrt{3}$ положительна, следовательно, число находится во второй четверти. Аргумент можно найти из системы уравнений: $\cos\phi = \frac{\text{Re}(W)}{|W|} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ $\sin\phi = \frac{\text{Im}(W)}{|W|} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ Единственное значение угла $\phi$ в интервале $(-\pi, \pi]$, удовлетворяющее этим условиям, это $\phi = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: модуль числа равен $4$, один из аргументов равен $\frac{2\pi}{3}$.