Номер 17.26, страница 401 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел - номер 17.26, страница 401.

Условие.

17.26 Пусть $\alpha_k$ — корни степени $n$ ($n \ge 2$) из 1 ($k = 0, 1, \dots, n-1$). Докажите, что:

а) $|\alpha_k| = 1$;

б) $\alpha_k \alpha_m = \alpha_{k+m}$;

В) $\frac{\alpha_k}{\alpha_m} = \alpha_{k-m}$;

г) $\alpha_k^m = \alpha_{km}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Корни n-й степени из 1, обозначаемые как $\alpha_k$, являются решениями уравнения $z^n = 1$. В тригонометрической и, что более удобно для данной задачи, показательной форме они записываются как:

$$ \alpha_k = \cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi k}{n}\right) = e^{i \frac{2\pi k}{n}}, \quad \text{где } k = 0, 1, \ldots, n-1. $$

Используем эту запись для доказательства предложенных утверждений.

а)

Модуль комплексного числа $z = x+iy$ вычисляется по формуле $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$. Для числа в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ модуль равен $r$. Для числа в показательной форме $z = re^{i\varphi}$ модуль также равен $r$.

Для корня $\alpha_k = \cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi k}{n}\right)$, модуль $r$ равен 1. Вычислим его также напрямую из определения:

$$ |\alpha_k| = \left| \cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi k}{n}\right) \right| = \sqrt{\cos^2\left(\frac{2\pi k}{n}\right) + \sin^2\left(\frac{2\pi k}{n}\right)} $$

Применяя основное тригонометрическое тождество $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$, получаем:

$$ |\alpha_k| = \sqrt{1} = 1 $$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $|\alpha_k|=1$.

б)

Используем показательную форму записи: $\alpha_k = e^{i \frac{2\pi k}{n}}$ и $\alpha_m = e^{i \frac{2\pi m}{n}}$.

Рассмотрим произведение $\alpha_k \alpha_m$:

$$ \alpha_k \alpha_m = e^{i \frac{2\pi k}{n}} \cdot e^{i \frac{2\pi m}{n}} $$

По свойству произведения степеней с одинаковым основанием ($a^x \cdot a^y = a^{x+y}$), имеем:

$$ \alpha_k \alpha_m = e^{i \frac{2\pi k}{n} + i \frac{2\pi m}{n}} = e^{i \frac{2\pi(k+m)}{n}} $$

Выражение в правой части по определению является корнем $\alpha_{k+m}$. Таким образом, равенство доказано.

Следует отметить, что индексы корней рассматриваются по модулю $n$, поскольку $e^{i \frac{2\pi (j+n)}{n}} = e^{i \frac{2\pi j}{n}} \cdot e^{i 2\pi} = e^{i \frac{2\pi j}{n}} \cdot 1 = \alpha_j$, то есть $\alpha_{j} = \alpha_{j \pmod n}$.

Ответ: Доказано, что $\alpha_k \alpha_m = \alpha_{k+m}$.

в)

Используем показательную форму записи. Рассмотрим частное $\frac{\alpha_k}{\alpha_m}$:

$$ \frac{\alpha_k}{\alpha_m} = \frac{e^{i \frac{2\pi k}{n}}}{e^{i \frac{2\pi m}{n}}} $$

По свойству частного степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$), имеем:

$$ \frac{\alpha_k}{\alpha_m} = e^{i \frac{2\pi k}{n} - i \frac{2\pi m}{n}} = e^{i \frac{2\pi(k-m)}{n}} $$

Выражение в правой части является определением корня $\alpha_{k-m}$. Равенство доказано.

Ответ: Доказано, что $\frac{\alpha_k}{\alpha_m} = \alpha_{k-m}$.

г)

Используем показательную форму записи. Возведем $\alpha_k$ в степень $m$:

$$ \alpha_k^m = \left(e^{i \frac{2\pi k}{n}}\right)^m $$

По свойству возведения степени в степень ($(a^x)^y = a^{xy}$), которое для комплексных чисел известно как формула Муавра, получаем:

$$ \alpha_k^m = e^{i \frac{2\pi k}{n} \cdot m} = e^{i \frac{2\pi(km)}{n}} $$

Выражение в правой части является определением корня $\alpha_{km}$. Равенство доказано.

Ответ: Доказано, что $\alpha_k^m = \alpha_{km}$.