Номер 17.25, страница 401 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел - номер 17.25, страница 401.

Условие.

17.25 Найдите корни степени 3 из комплексного числа и найдите на комплексной плоскости точки, их изображающие:

а) $1$;

б) $-1$;

в) $8i$;

г) $-8i$;

д) $1 + i$;

е) $1 - i$;

ж) $1 + i\sqrt{3}$;

з) $1 - i\sqrt{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для нахождения корней степени $n$ из комплексного числа $z$ необходимо сначала представить это число в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где $r = |z|$ - модуль, а $\varphi = \arg(z)$ - аргумент числа.Корни степени $n$ вычисляются по формуле Муавра:$w_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)$, где $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.В данной задаче мы ищем корни степени 3, поэтому $n=3$ и $k$ принимает значения $0, 1, 2$.На комплексной плоскости эти три корня являются вершинами правильного треугольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и радиусом $R = \sqrt[3]{r}$.

а) $1$

Представим число $z=1$ в тригонометрической форме.
Модуль $r = |1| = 1$, аргумент $\varphi = 0$.
$z = 1(\cos 0 + i\sin 0)$.

Корни кубические вычисляются по формуле:
$w_k = \sqrt[3]{1} \left( \cos\frac{0 + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{0 + 2\pi k}{3} \right) = \cos\frac{2\pi k}{3} + i\sin\frac{2\pi k}{3}$.

Для $k=0$: $w_0 = \cos 0 + i\sin 0 = 1$.
Для $k=1$: $w_1 = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Для $k=2$: $w_2 = \cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Точки, изображающие эти корни: $(1, 0)$, $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ и $(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$. Они образуют правильный треугольник, вписанный в единичную окружность.

Ответ: $w_0 = 1$, $w_1 = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$, $w_2 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) $-1$

Представим число $z=-1$ в тригонометрической форме.
Модуль $r = |-1| = 1$, аргумент $\varphi = \pi$.
$z = 1(\cos\pi + i\sin\pi)$.

Корни кубические: $w_k = \cos\frac{\pi + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{\pi + 2\pi k}{3}$.

Для $k=0$: $w_0 = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Для $k=1$: $w_1 = \cos\frac{3\pi}{3} + i\sin\frac{3\pi}{3} = \cos\pi + i\sin\pi = -1$.
Для $k=2$: $w_2 = \cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Точки, изображающие эти корни: $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-1, 0)$ и $(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$. Они образуют правильный треугольник, вписанный в единичную окружность.

Ответ: $w_0 = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$, $w_1 = -1$, $w_2 = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) $8i$

Представим число $z=8i$ в тригонометрической форме.
Модуль $r = |8i| = 8$, аргумент $\varphi = \frac{\pi}{2}$.
$z = 8(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2})$.

Корни кубические: $w_k = \sqrt[3]{8} \left( \cos\frac{\pi/2 + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{\pi/2 + 2\pi k}{3} \right) = 2 \left( \cos\frac{\pi(1+4k)}{6} + i\sin\frac{\pi(1+4k)}{6} \right)$.

Для $k=0$: $w_0 = 2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = \sqrt{3} + i$.
Для $k=1$: $w_1 = 2(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}) = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = -\sqrt{3} + i$.
Для $k=2$: $w_2 = 2(\cos\frac{9\pi}{6} + i\sin\frac{9\pi}{6}) = 2(\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2}) = 2(0 - i) = -2i$.

Точки, изображающие эти корни: $(\sqrt{3}, 1)$, $(-\sqrt{3}, 1)$ и $(0, -2)$. Они образуют правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса 2.

Ответ: $w_0 = \sqrt{3} + i$, $w_1 = -\sqrt{3} + i$, $w_2 = -2i$.

г) $-8i$

Представим число $z=-8i$ в тригонометрической форме.
Модуль $r = |-8i| = 8$, аргумент $\varphi = \frac{3\pi}{2}$.
$z = 8(\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2})$.

Корни кубические: $w_k = 2 \left( \cos\frac{3\pi/2 + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{3\pi/2 + 2\pi k}{3} \right) = 2 \left( \cos\frac{\pi(3+4k)}{6} + i\sin\frac{\pi(3+4k)}{6} \right)$.

Для $k=0$: $w_0 = 2(\cos\frac{3\pi}{6} + i\sin\frac{3\pi}{6}) = 2(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}) = 2i$.
Для $k=1$: $w_1 = 2(\cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6}) = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}) = -\sqrt{3} - i$.
Для $k=2$: $w_2 = 2(\cos\frac{11\pi}{6} + i\sin\frac{11\pi}{6}) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}) = \sqrt{3} - i$.

Точки, изображающие эти корни: $(0, 2)$, $(-\sqrt{3}, -1)$ и $(\sqrt{3}, -1)$. Они образуют правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса 2.

Ответ: $w_0 = 2i$, $w_1 = -\sqrt{3} - i$, $w_2 = \sqrt{3} - i$.

д) $1+i$

Представим число $z=1+i$ в тригонометрической форме.
Модуль $r = |1+i| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$, аргумент $\varphi = \frac{\pi}{4}$.
$z = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})$.

Корни кубические: $w_k = \sqrt[3]{\sqrt{2}} \left( \cos\frac{\pi/4 + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{\pi/4 + 2\pi k}{3} \right) = \sqrt[6]{2} \left( \cos\frac{\pi(1+8k)}{12} + i\sin\frac{\pi(1+8k)}{12} \right)$.

Для $k=0$: $w_0 = \sqrt[6]{2}(\cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12})$.
Для $k=1$: $w_1 = \sqrt[6]{2}(\cos\frac{9\pi}{12} + i\sin\frac{9\pi}{12}) = \sqrt[6]{2}(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}) = \sqrt[6]{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{-1+i}{\sqrt[3]{2}}$.
Для $k=2$: $w_2 = \sqrt[6]{2}(\cos\frac{17\pi}{12} + i\sin\frac{17\pi}{12})$.

Точки, изображающие корни, образуют правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса $R = \sqrt[6]{2}$.

Ответ: $w_0 = \sqrt[6]{2}(\cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12})$, $w_1 = \frac{-1+i}{\sqrt[3]{2}}$, $w_2 = \sqrt[6]{2}(\cos\frac{17\pi}{12} + i\sin\frac{17\pi}{12})$.

е) $1-i$

Представим число $z=1-i$ в тригонометрической форме.
Модуль $r = |1-i| = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$, аргумент $\varphi = -\frac{\pi}{4}$.
$z = \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$.

Корни кубические: $w_k = \sqrt[6]{2} \left( \cos\frac{-\pi/4 + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{-\pi/4 + 2\pi k}{3} \right) = \sqrt[6]{2} \left( \cos\frac{\pi(-1+8k)}{12} + i\sin\frac{\pi(-1+8k)}{12} \right)$.

Для $k=0$: $w_0 = \sqrt[6]{2}(\cos(-\frac{\pi}{12}) + i\sin(-\frac{\pi}{12})) = \sqrt[6]{2}(\cos\frac{\pi}{12} - i\sin\frac{\pi}{12})$.
Для $k=1$: $w_1 = \sqrt[6]{2}(\cos\frac{7\pi}{12} + i\sin\frac{7\pi}{12})$.
Для $k=2$: $w_2 = \sqrt[6]{2}(\cos\frac{15\pi}{12} + i\sin\frac{15\pi}{12}) = \sqrt[6]{2}(\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}) = \sqrt[6]{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{-1-i}{\sqrt[3]{2}}$.

Точки, изображающие корни, образуют правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса $R = \sqrt[6]{2}$.

Ответ: $w_0 = \sqrt[6]{2}(\cos\frac{\pi}{12} - i\sin\frac{\pi}{12})$, $w_1 = \sqrt[6]{2}(\cos\frac{7\pi}{12} + i\sin\frac{7\pi}{12})$, $w_2 = \frac{-1-i}{\sqrt[3]{2}}$.

ж) $1+i\sqrt{3}$

Представим число $z=1+i\sqrt{3}$ в тригонометрической форме.
Модуль $r = |1+i\sqrt{3}| = \sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2} = 2$, аргумент $\varphi = \frac{\pi}{3}$.
$z = 2(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})$.

Корни кубические: $w_k = \sqrt[3]{2} \left( \cos\frac{\pi/3 + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{\pi/3 + 2\pi k}{3} \right) = \sqrt[3]{2} \left( \cos\frac{\pi(1+6k)}{9} + i\sin\frac{\pi(1+6k)}{9} \right)$.

Для $k=0$: $w_0 = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{\pi}{9} + i\sin\frac{\pi}{9})$.
Для $k=1$: $w_1 = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{7\pi}{9} + i\sin\frac{7\pi}{9})$.
Для $k=2$: $w_2 = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{13\pi}{9} + i\sin\frac{13\pi}{9})$.

Точки, изображающие корни, образуют правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса $R = \sqrt[3]{2}$.

Ответ: $w_0 = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{\pi}{9} + i\sin\frac{\pi}{9})$, $w_1 = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{7\pi}{9} + i\sin\frac{7\pi}{9})$, $w_2 = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{13\pi}{9} + i\sin\frac{13\pi}{9})$.

з) $1-i\sqrt{3}$

Представим число $z=1-i\sqrt{3}$ в тригонометрической форме.
Модуль $r = |1-i\sqrt{3}| = \sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2} = 2$, аргумент $\varphi = -\frac{\pi}{3}$.
$z = 2(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))$.

Корни кубические: $w_k = \sqrt[3]{2} \left( \cos\frac{-\pi/3 + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{-\pi/3 + 2\pi k}{3} \right) = \sqrt[3]{2} \left( \cos\frac{\pi(-1+6k)}{9} + i\sin\frac{\pi(-1+6k)}{9} \right)$.

Для $k=0$: $w_0 = \sqrt[3]{2}(\cos(-\frac{\pi}{9}) + i\sin(-\frac{\pi}{9})) = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{\pi}{9} - i\sin\frac{\pi}{9})$.
Для $k=1$: $w_1 = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{5\pi}{9} + i\sin\frac{5\pi}{9})$.
Для $k=2$: $w_2 = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{11\pi}{9} + i\sin\frac{11\pi}{9})$.

Точки, изображающие корни, образуют правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса $R = \sqrt[3]{2}$.

Ответ: $w_0 = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{\pi}{9} - i\sin\frac{\pi}{9})$, $w_1 = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{5\pi}{9} + i\sin\frac{5\pi}{9})$, $w_2 = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{11\pi}{9} + i\sin\frac{11\pi}{9})$.