Номер 17.19, страница 396 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел - номер 17.19, страница 396.

Условие.

17.19 Выполните действия:

а) $ \frac{16i\left(\sin\frac{\pi}{3} - i\cos\frac{\pi}{3}\right)^2}{(\sqrt{3}+i)^4} $;

б) $ \frac{16i\left(\sin\frac{\pi}{6} + i\cos\frac{\pi}{6}\right)^2}{(i\sqrt{3}-i)^4} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a)

Для вычисления значения выражения $ \frac{16i\left(\sin\frac{\pi}{3} - i\cos\frac{\pi}{3}\right)^2}{\left(\sqrt{3} + i\right)^4} $ удобно использовать тригонометрическую и показательную формы комплексных чисел.

1. Преобразуем числитель.

Сначала рассмотрим выражение в скобках: $ \sin\frac{\pi}{3} - i\cos\frac{\pi}{3} $. Используем формулы приведения: $ \sin\alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) $ и $ \cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $.

$ \sin\frac{\pi}{3} - i\cos\frac{\pi}{3} = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}\right) - i\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{6} - i\sin\frac{\pi}{6} $.

В показательной форме это число равно $ e^{-i\frac{\pi}{6}} $.

Теперь возведем это в квадрат: $ \left(e^{-i\frac{\pi}{6}}\right)^2 = e^{-i\frac{2\pi}{6}} = e^{-i\frac{\pi}{3}} $.

Комплексное число $ i $ в показательной форме равно $ e^{i\frac{\pi}{2}} $.

Весь числитель равен: $ 16i \cdot \left(e^{-i\frac{\pi}{6}}\right)^2 = 16 \cdot e^{i\frac{\pi}{2}} \cdot e^{-i\frac{\pi}{3}} = 16 e^{i\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}\right)} = 16 e^{i\frac{\pi}{6}} $.

2. Преобразуем знаменатель.

Представим комплексное число $ z = \sqrt{3} + i $ в показательной форме. Найдем его модуль и аргумент.

Модуль: $ r = |\sqrt{3} + i| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2 $.

Аргумент: $ \varphi = \arg(\sqrt{3} + i) = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6} $ (так как число в I квадранте).

Следовательно, $ \sqrt{3} + i = 2e^{i\frac{\pi}{6}} $.

Возведем в четвертую степень по формуле Муавра: $ (\sqrt{3} + i)^4 = \left(2e^{i\frac{\pi}{6}}\right)^4 = 2^4 e^{i\frac{4\pi}{6}} = 16 e^{i\frac{2\pi}{3}} $.

3. Вычислим частное.

$ \frac{16 e^{i\frac{\pi}{6}}}{16 e^{i\frac{2\pi}{3}}} = e^{i\frac{\pi}{6} - i\frac{2\pi}{3}} = e^{i\left(\frac{\pi - 4\pi}{6}\right)} = e^{-i\frac{3\pi}{6}} = e^{-i\frac{\pi}{2}} $.

Переведем результат в алгебраическую форму:

$ e^{-i\frac{\pi}{2}} = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0 + i(-1) = -i $.

Ответ: $-i$

б)

Для вычисления значения выражения $ \frac{16i\left(\sin\frac{\pi}{6} + i\cos\frac{\pi}{6}\right)^2}{\left(i\sqrt{3} - 1\right)^4} $ также используем показательную форму комплексных чисел.

1. Преобразуем числитель.

Рассмотрим выражение в скобках: $ \sin\frac{\pi}{6} + i\cos\frac{\pi}{6} $. Используя формулы приведения:

$ \sin\frac{\pi}{6} + i\cos\frac{\pi}{6} = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} $.

В показательной форме это число равно $ e^{i\frac{\pi}{3}} $.

Возведем в квадрат: $ \left(e^{i\frac{\pi}{3}}\right)^2 = e^{i\frac{2\pi}{3}} $.

С учетом множителя $ 16i = 16e^{i\frac{\pi}{2}} $, весь числитель равен:

$ 16i \cdot \left(e^{i\frac{\pi}{3}}\right)^2 = 16 \cdot e^{i\frac{\pi}{2}} \cdot e^{i\frac{2\pi}{3}} = 16 e^{i\left(\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{3}\right)} = 16 e^{i\left(\frac{3\pi+4\pi}{6}\right)} = 16 e^{i\frac{7\pi}{6}} $.

2. Преобразуем знаменатель.

Представим комплексное число $ z = i\sqrt{3} - 1 = -1 + i\sqrt{3} $ в показательной форме.

Модуль: $ r = |-1 + i\sqrt{3}| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2 $.

Аргумент: $ \cos\varphi = -1/2 $, $ \sin\varphi = \sqrt{3}/2 $, что соответствует углу $ \varphi = \frac{2\pi}{3} $.

Следовательно, $ -1 + i\sqrt{3} = 2e^{i\frac{2\pi}{3}} $.

Возведем в четвертую степень: $ (-1 + i\sqrt{3})^4 = \left(2e^{i\frac{2\pi}{3}}\right)^4 = 2^4 e^{i\frac{8\pi}{3}} = 16 e^{i\frac{8\pi}{3}} $.

Упростим аргумент: $ \frac{8\pi}{3} = \frac{6\pi+2\pi}{3} = 2\pi + \frac{2\pi}{3} $. Поскольку $2\pi$ - полный оборот, $ e^{i\frac{8\pi}{3}} = e^{i\frac{2\pi}{3}} $.

Знаменатель равен $ 16 e^{i\frac{2\pi}{3}} $.

3. Вычислим частное.

$ \frac{16 e^{i\frac{7\pi}{6}}}{16 e^{i\frac{2\pi}{3}}} = e^{i\frac{7\pi}{6} - i\frac{2\pi}{3}} = e^{i\left(\frac{7\pi-4\pi}{6}\right)} = e^{i\frac{3\pi}{6}} = e^{i\frac{\pi}{2}} $.

Переведем результат в алгебраическую форму:

$ e^{i\frac{\pi}{2}} = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 + i(1) = i $.

Ответ: $i$