Страница 396 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

17.16 Докажите, что для любых комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ справедливо неравенство:

а) $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$;

б) $|z_1 - z_2| \leq |z_1| + |z_2|$;

в) $||z_1| - |z_2|| \leq |z_1 + z_2|$;

г) $||z_1| - |z_2|| \leq |z_1 - z_2|$.

а) Докажем неравенство треугольника $|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$.

Возведём обе части неравенства в квадрат. Поскольку модуль комплексного числа — величина неотрицательная, такое преобразование является равносильным.

$|z_1 + z_2|^2 \le (|z_1| + |z_2|)^2$

Используем свойство модуля $|z|^2 = z \cdot \bar{z}$, где $\bar{z}$ — комплексно сопряжённое число.

Левая часть: $|z_1 + z_2|^2 = (z_1 + z_2)(\overline{z_1 + z_2}) = (z_1 + z_2)(\bar{z_1} + \bar{z_2}) = z_1\bar{z_1} + z_1\bar{z_2} + z_2\bar{z_1} + z_2\bar{z_2}$.

Так как $z_1\bar{z_1} = |z_1|^2$ и $z_2\bar{z_2} = |z_2|^2$, а также $z_2\bar{z_1} = \overline{z_1\bar{z_2}}$, выражение принимает вид: $|z_1|^2 + |z_2|^2 + z_1\bar{z_2} + \overline{z_1\bar{z_2}}$.

Для любого комплексного числа $w$ справедливо равенство $w + \bar{w} = 2\text{Re}(w)$, где $\text{Re}(w)$ — действительная часть числа $w$. Следовательно, $z_1\bar{z_2} + \overline{z_1\bar{z_2}} = 2\text{Re}(z_1\bar{z_2})$.

Таким образом, левая часть равна: $|z_1|^2 + |z_2|^2 + 2\text{Re}(z_1\bar{z_2})$.

Правая часть: $(|z_1| + |z_2|)^2 = |z_1|^2 + 2|z_1||z_2| + |z_2|^2$.

Теперь неравенство $|z_1 + z_2|^2 \le (|z_1| + |z_2|)^2$ принимает вид: $|z_1|^2 + |z_2|^2 + 2\text{Re}(z_1\bar{z_2}) \le |z_1|^2 + 2|z_1||z_2| + |z_2|^2$.

Упрощая, получаем: $2\text{Re}(z_1\bar{z_2}) \le 2|z_1||z_2|$, или $\text{Re}(z_1\bar{z_2}) \le |z_1||z_2|$.

Для любого комплексного числа $w$ верно, что $\text{Re}(w) \le |w|$. Пусть $w = z_1\bar{z_2}$. Тогда $\text{Re}(z_1\bar{z_2}) \le |z_1\bar{z_2}|$. Используя свойство модуля $|w_1 w_2| = |w_1||w_2|$ и $|\bar{w}| = |w|$, получаем: $|z_1\bar{z_2}| = |z_1||\bar{z_2}| = |z_1||z_2|$.

Таким образом, мы пришли к верному неравенству $\text{Re}(z_1\bar{z_2}) \le |z_1||z_2|$, что доказывает исходное неравенство.

Ответ: $|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$.

б) Докажем неравенство $|z_1 - z_2| \le |z_1| + |z_2|$.

Воспользуемся уже доказанным неравенством треугольника из пункта а): $|a + b| \le |a| + |b|$.

Представим разность $z_1 - z_2$ как сумму $z_1 + (-z_2)$.

Применим неравенство треугольника к числам $z_1$ и $-z_2$: $|z_1 - z_2| = |z_1 + (-z_2)| \le |z_1| + |-z_2|$.

По определению модуля, $|-z_2| = |(-1) \cdot z_2| = |-1| \cdot |z_2| = 1 \cdot |z_2| = |z_2|$.

Подставляя это в неравенство, получаем: $|z_1 - z_2| \le |z_1| + |z_2|$.

Ответ: $|z_1 - z_2| \le |z_1| + |z_2|$.

в) Докажем неравенство $||z_1| - |z_2|| \le |z_1 + z_2|$.

Это неравенство является следствием неравенства треугольника.

Рассмотрим $|z_1|$: $|z_1| = |(z_1 + z_2) - z_2|$.

Применяя неравенство треугольника $|a+b| \le |a|+|b|$ к числам $a = z_1 + z_2$ и $b = -z_2$, получаем: $|(z_1 + z_2) + (-z_2)| \le |z_1 + z_2| + |-z_2|$.

Так как $|-z_2| = |z_2|$, имеем: $|z_1| \le |z_1 + z_2| + |z_2|$.

Перенеся $|z_2|$ в левую часть, получим: $|z_1| - |z_2| \le |z_1 + z_2|$. (1)

Теперь рассмотрим $|z_2|$: $|z_2| = |(z_2 + z_1) - z_1|$.

Аналогично, применяя неравенство треугольника к числам $z_1+z_2$ и $-z_1$: $|z_2| \le |z_1 + z_2| + |-z_1| = |z_1 + z_2| + |z_1|$.

Перенеся $|z_1|$ в левую часть, получим: $|z_2| - |z_1| \le |z_1 + z_2|$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $|z_1| - |z_2| \ge -|z_1 + z_2|$. (2)

Объединяя неравенства (1) и (2), получаем двойное неравенство: $-|z_1 + z_2| \le |z_1| - |z_2| \le |z_1 + z_2|$.

Это в точности соответствует определению модуля: $||z_1| - |z_2|| \le |z_1 + z_2|$.

Ответ: $||z_1| - |z_2|| \le |z_1 + z_2|$.

г) Докажем неравенство $||z_1| - |z_2|| \le |z_1 - z_2|$.

Это неравенство, известное как обратное неравенство треугольника, доказывается аналогично пункту в).

Рассмотрим $|z_1|$: $|z_1| = |(z_1 - z_2) + z_2|$.

Применяя неравенство треугольника $|a+b| \le |a|+|b|$ к числам $a = z_1 - z_2$ и $b = z_2$, получаем: $|z_1| \le |z_1 - z_2| + |z_2|$.

Перенеся $|z_2|$ в левую часть, получим: $|z_1| - |z_2| \le |z_1 - z_2|$. (1)

Теперь рассмотрим $|z_2|$: $|z_2| = |(z_2 - z_1) + z_1|$.

Применяя неравенство треугольника, получаем: $|z_2| \le |z_2 - z_1| + |z_1|$.

Так как $|z_2 - z_1| = |(-1)(z_1 - z_2)| = |-1| |z_1 - z_2| = |z_1 - z_2|$, имеем: $|z_2| \le |z_1 - z_2| + |z_1|$.

Перенеся $|z_1|$ в левую часть, получим: $|z_2| - |z_1| \le |z_1 - z_2|$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $|z_1| - |z_2| \ge -|z_1 - z_2|$. (2)

Объединяя неравенства (1) и (2), получаем двойное неравенство: $-|z_1 - z_2| \le |z_1| - |z_2| \le |z_1 - z_2|$.

Это эквивалентно: $||z_1| - |z_2|| \le |z_1 - z_2|$.

Ответ: $||z_1| - |z_2|| \le |z_1 - z_2|$.

17.17 Выразите через $\sin x$ и $\cos x$:

a) $\sin 4x$ и $\cos 4x$;

б) $\sin 5x$ и $\cos 5x$;

в) $\sin 6x$ и $\cos 6x$.

a) sin 4x и cos 4x

Для выражения $\sin 4x$ и $\cos 4x$ через $\sin x$ и $\cos x$ воспользуемся формулами двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ и $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Сначала выразим $\sin 4x$, представив $4x$ как $2 \cdot 2x$:

$\sin 4x = \sin(2 \cdot 2x) = 2\sin(2x)\cos(2x)$.

Теперь подставим формулы двойного угла для $\sin(2x)$ и $\cos(2x)$:

$\sin(2x) = 2\sin x \cos x$

$\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$

Подставляя эти выражения, получаем:

$\sin 4x = 2(2\sin x \cos x)(\cos^2 x - \sin^2 x) = 4\sin x \cos x(\cos^2 x - \sin^2 x) = 4\sin x \cos^3 x - 4\sin^3 x \cos x$.

Теперь выразим $\cos 4x$, также представив $4x$ как $2 \cdot 2x$:

$\cos 4x = \cos(2 \cdot 2x) = \cos^2(2x) - \sin^2(2x)$.

Подставим формулы для $\sin(2x)$ и $\cos(2x)$:

$\cos 4x = (\cos^2 x - \sin^2 x)^2 - (2\sin x \cos x)^2$.

Раскроем скобки:

$\cos 4x = (\cos^4 x - 2\sin^2 x \cos^2 x + \sin^4 x) - 4\sin^2 x \cos^2 x$.

Приведем подобные слагаемые:

$\cos 4x = \cos^4 x - 6\sin^2 x \cos^2 x + \sin^4 x$.

Ответ: $\sin 4x = 4\sin x \cos^3 x - 4\sin^3 x \cos x$; $\cos 4x = \cos^4 x - 6\sin^2 x \cos^2 x + \sin^4 x$.

б) sin 5x и cos 5x

Для выражения $\sin 5x$ и $\cos 5x$ представим $5x$ как сумму $3x + 2x$ и воспользуемся формулами синуса и косинуса суммы: $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ и $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.

Предварительно найдем выражения для $\sin 3x$ и $\cos 3x$ через $\sin x$ и $\cos x$ (формулы тройного угла):

$\sin 3x = \sin(2x+x) = \sin(2x)\cos x + \cos(2x)\sin x = (2\sin x \cos x)\cos x + (\cos^2 x - \sin^2 x)\sin x = 2\sin x \cos^2 x + \sin x \cos^2 x - \sin^3 x = 3\sin x \cos^2 x - \sin^3 x$.

$\cos 3x = \cos(2x+x) = \cos(2x)\cos x - \sin(2x)\sin x = (\cos^2 x - \sin^2 x)\cos x - (2\sin x \cos x)\sin x = \cos^3 x - \sin^2 x \cos x - 2\sin^2 x \cos x = \cos^3 x - 3\sin^2 x \cos x$.

Теперь выразим $\sin 5x$:

$\sin 5x = \sin(3x+2x) = \sin(3x)\cos(2x) + \cos(3x)\sin(2x)$.

Подставляем полученные выражения:

$\sin 5x = (3\sin x \cos^2 x - \sin^3 x)(\cos^2 x - \sin^2 x) + (\cos^3 x - 3\sin^2 x \cos x)(2\sin x \cos x)$.

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$\sin 5x = (3\sin x \cos^4 x - 3\sin^3 x \cos^2 x - \sin^3 x \cos^2 x + \sin^5 x) + (2\sin x \cos^4 x - 6\sin^3 x \cos^2 x)$.

$\sin 5x = 5\sin x \cos^4 x - 10\sin^3 x \cos^2 x + \sin^5 x$.

Теперь выразим $\cos 5x$:

$\cos 5x = \cos(3x+2x) = \cos(3x)\cos(2x) - \sin(3x)\sin(2x)$.

Подставляем выражения:

$\cos 5x = (\cos^3 x - 3\sin^2 x \cos x)(\cos^2 x - \sin^2 x) - (3\sin x \cos^2 x - \sin^3 x)(2\sin x \cos x)$.

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$\cos 5x = (\cos^5 x - \cos^3 x \sin^2 x - 3\sin^2 x \cos^3 x + 3\sin^4 x \cos x) - (6\sin^2 x \cos^3 x - 2\sin^4 x \cos x)$.

$\cos 5x = \cos^5 x - 4\sin^2 x \cos^3 x + 3\sin^4 x \cos x - 6\sin^2 x \cos^3 x + 2\sin^4 x \cos x$.

$\cos 5x = \cos^5 x - 10\sin^2 x \cos^3 x + 5\sin^4 x \cos x$.

Ответ: $\sin 5x = 5\sin x \cos^4 x - 10\sin^3 x \cos^2 x + \sin^5 x$; $\cos 5x = \cos^5 x - 10\sin^2 x \cos^3 x + 5\sin^4 x \cos x$.

в) sin 6x и cos 6x

Для выражения $\sin 6x$ и $\cos 6x$ воспользуемся формулами двойного угла, представив $6x$ как $2 \cdot 3x$.

$\sin 6x = \sin(2 \cdot 3x) = 2\sin(3x)\cos(3x)$.

Воспользуемся выражениями для $\sin 3x$ и $\cos 3x$ из предыдущего пункта:

$\sin 3x = 3\sin x \cos^2 x - \sin^3 x$

$\cos 3x = \cos^3 x - 3\sin^2 x \cos x$

Подставляем их в формулу для $\sin 6x$:

$\sin 6x = 2(3\sin x \cos^2 x - \sin^3 x)(\cos^3 x - 3\sin^2 x \cos x)$.

Раскроем скобки:

$\sin 6x = 2(3\sin x \cos^5 x - 9\sin^3 x \cos^3 x - \sin^3 x \cos^3 x + 3\sin^5 x \cos x)$.

$\sin 6x = 2(3\sin x \cos^5 x - 10\sin^3 x \cos^3 x + 3\sin^5 x \cos x) = 6\sin x \cos^5 x - 20\sin^3 x \cos^3 x + 6\sin^5 x \cos x$.

Теперь выразим $\cos 6x$:

$\cos 6x = \cos(2 \cdot 3x) = \cos^2(3x) - \sin^2(3x)$.

Подставляем выражения для $\sin 3x$ и $\cos 3x$:

$\cos 6x = (\cos^3 x - 3\sin^2 x \cos x)^2 - (3\sin x \cos^2 x - \sin^3 x)^2$.

Раскроем квадраты:

$(\cos^3 x - 3\sin^2 x \cos x)^2 = \cos^6 x - 6\sin^2 x \cos^4 x + 9\sin^4 x \cos^2 x$.

$(3\sin x \cos^2 x - \sin^3 x)^2 = 9\sin^2 x \cos^4 x - 6\sin^4 x \cos^2 x + \sin^6 x$.

Вычтем второе из первого:

$\cos 6x = (\cos^6 x - 6\sin^2 x \cos^4 x + 9\sin^4 x \cos^2 x) - (9\sin^2 x \cos^4 x - 6\sin^4 x \cos^2 x + \sin^6 x)$.

$\cos 6x = \cos^6 x - 6\sin^2 x \cos^4 x + 9\sin^4 x \cos^2 x - 9\sin^2 x \cos^4 x + 6\sin^4 x \cos^2 x - \sin^6 x$.

$\cos 6x = \cos^6 x - 15\sin^2 x \cos^4 x + 15\sin^4 x \cos^2 x - \sin^6 x$.

Ответ: $\sin 6x = 6\sin x \cos^5 x - 20\sin^3 x \cos^3 x + 6\sin^5 x \cos x$; $\cos 6x = \cos^6 x - 15\sin^2 x \cos^4 x + 15\sin^4 x \cos^2 x - \sin^6 x$.

17.18 Выполните действия:

а) $(1+i\sqrt{3})^7 + (1-i\sqrt{3})^7$;

б) $(\sqrt{3}+i)^7 + (\sqrt{3}-i)^7$.

а)

Для вычисления данного выражения воспользуемся тригонометрической формой комплексного числа и формулой Муавра. Выражение представляет собой сумму двух комплексно-сопряженных чисел, возведенных в степень: $z^7 + (\bar{z})^7$, где $z = 1 + i\sqrt{3}$.

Известно, что $(\bar{z})^n = \overline{z^n}$. Тогда сумма $z^7 + (\bar{z})^7 = z^7 + \overline{z^7}$. Если $z^7 = a + bi$, то $\overline{z^7} = a - bi$, и их сумма равна $(a+bi) + (a-bi) = 2a = 2\text{Re}(z^7)$. Таким образом, задача сводится к нахождению действительной части числа $(1 + i\sqrt{3})^7$ и умножению ее на 2.

Представим число $z = 1 + i\sqrt{3}$ в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$.

Найдем модуль $r$ и аргумент $\varphi$:

Модуль: $r = |1 + i\sqrt{3}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$.

Аргумент: $\cos\varphi = \frac{1}{r} = \frac{1}{2}$ и $\sin\varphi = \frac{\sqrt{3}}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим условиям соответствует угол $\varphi = \frac{\pi}{3}$.

Итак, $z = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))$.

По формуле Муавра $z^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$ найдем $z^7$:

$z^7 = (1 + i\sqrt{3})^7 = 2^7(\cos(7 \cdot \frac{\pi}{3}) + i\sin(7 \cdot \frac{\pi}{3})) = 128(\cos(\frac{7\pi}{3}) + i\sin(\frac{7\pi}{3}))$.

Действительная часть этого числа равна $\text{Re}(z^7) = 128\cos(\frac{7\pi}{3})$.

Так как $\frac{7\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$, то $\cos(\frac{7\pi}{3}) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $\text{Re}(z^7) = 128 \cdot \frac{1}{2} = 64$.

Искомая сумма равна $2\text{Re}(z^7) = 2 \cdot 64 = 128$.

Ответ: 128

б)

Данное выражение $(\sqrt{3} + i)^7 + (\sqrt{3} - i)^7$ также является суммой двух комплексно-сопряженных чисел в степени. Пусть $z = \sqrt{3} + i$. Тогда выражение равно $z^7 + (\bar{z})^7 = 2\text{Re}(z^7)$.

Представим число $z = \sqrt{3} + i$ в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$.

Найдем модуль $r$ и аргумент $\varphi$:

Модуль: $r = |\sqrt{3} + i| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$.

Аргумент: $\cos\varphi = \frac{\sqrt{3}}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\varphi = \frac{1}{r} = \frac{1}{2}$. Этим условиям соответствует угол $\varphi = \frac{\pi}{6}$.

Итак, $z = 2(\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}))$.

По формуле Муавра найдем $z^7$:

$z^7 = (\sqrt{3} + i)^7 = 2^7(\cos(7 \cdot \frac{\pi}{6}) + i\sin(7 \cdot \frac{\pi}{6})) = 128(\cos(\frac{7\pi}{6}) + i\sin(\frac{7\pi}{6}))$.

Действительная часть этого числа равна $\text{Re}(z^7) = 128\cos(\frac{7\pi}{6})$.

Так как $\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$, то $\cos(\frac{7\pi}{6}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, $\text{Re}(z^7) = 128 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -64\sqrt{3}$.

Искомая сумма равна $2\text{Re}(z^7) = 2 \cdot (-64\sqrt{3}) = -128\sqrt{3}$.

Ответ: $-128\sqrt{3}$

17.19 Выполните действия:

а) $ \frac{16i\left(\sin\frac{\pi}{3} - i\cos\frac{\pi}{3}\right)^2}{(\sqrt{3}+i)^4} $;

б) $ \frac{16i\left(\sin\frac{\pi}{6} + i\cos\frac{\pi}{6}\right)^2}{(i\sqrt{3}-i)^4} $.

a)

Для вычисления значения выражения $ \frac{16i\left(\sin\frac{\pi}{3} - i\cos\frac{\pi}{3}\right)^2}{\left(\sqrt{3} + i\right)^4} $ удобно использовать тригонометрическую и показательную формы комплексных чисел.

1. Преобразуем числитель.

Сначала рассмотрим выражение в скобках: $ \sin\frac{\pi}{3} - i\cos\frac{\pi}{3} $. Используем формулы приведения: $ \sin\alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) $ и $ \cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $.

$ \sin\frac{\pi}{3} - i\cos\frac{\pi}{3} = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}\right) - i\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{6} - i\sin\frac{\pi}{6} $.

В показательной форме это число равно $ e^{-i\frac{\pi}{6}} $.

Теперь возведем это в квадрат: $ \left(e^{-i\frac{\pi}{6}}\right)^2 = e^{-i\frac{2\pi}{6}} = e^{-i\frac{\pi}{3}} $.

Комплексное число $ i $ в показательной форме равно $ e^{i\frac{\pi}{2}} $.

Весь числитель равен: $ 16i \cdot \left(e^{-i\frac{\pi}{6}}\right)^2 = 16 \cdot e^{i\frac{\pi}{2}} \cdot e^{-i\frac{\pi}{3}} = 16 e^{i\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}\right)} = 16 e^{i\frac{\pi}{6}} $.

2. Преобразуем знаменатель.

Представим комплексное число $ z = \sqrt{3} + i $ в показательной форме. Найдем его модуль и аргумент.

Модуль: $ r = |\sqrt{3} + i| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2 $.

Аргумент: $ \varphi = \arg(\sqrt{3} + i) = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6} $ (так как число в I квадранте).

Следовательно, $ \sqrt{3} + i = 2e^{i\frac{\pi}{6}} $.

Возведем в четвертую степень по формуле Муавра: $ (\sqrt{3} + i)^4 = \left(2e^{i\frac{\pi}{6}}\right)^4 = 2^4 e^{i\frac{4\pi}{6}} = 16 e^{i\frac{2\pi}{3}} $.

3. Вычислим частное.

$ \frac{16 e^{i\frac{\pi}{6}}}{16 e^{i\frac{2\pi}{3}}} = e^{i\frac{\pi}{6} - i\frac{2\pi}{3}} = e^{i\left(\frac{\pi - 4\pi}{6}\right)} = e^{-i\frac{3\pi}{6}} = e^{-i\frac{\pi}{2}} $.

Переведем результат в алгебраическую форму:

$ e^{-i\frac{\pi}{2}} = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0 + i(-1) = -i $.

Ответ: $-i$

б)

Для вычисления значения выражения $ \frac{16i\left(\sin\frac{\pi}{6} + i\cos\frac{\pi}{6}\right)^2}{\left(i\sqrt{3} - 1\right)^4} $ также используем показательную форму комплексных чисел.

1. Преобразуем числитель.

Рассмотрим выражение в скобках: $ \sin\frac{\pi}{6} + i\cos\frac{\pi}{6} $. Используя формулы приведения:

$ \sin\frac{\pi}{6} + i\cos\frac{\pi}{6} = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} $.

В показательной форме это число равно $ e^{i\frac{\pi}{3}} $.

Возведем в квадрат: $ \left(e^{i\frac{\pi}{3}}\right)^2 = e^{i\frac{2\pi}{3}} $.

С учетом множителя $ 16i = 16e^{i\frac{\pi}{2}} $, весь числитель равен:

$ 16i \cdot \left(e^{i\frac{\pi}{3}}\right)^2 = 16 \cdot e^{i\frac{\pi}{2}} \cdot e^{i\frac{2\pi}{3}} = 16 e^{i\left(\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{3}\right)} = 16 e^{i\left(\frac{3\pi+4\pi}{6}\right)} = 16 e^{i\frac{7\pi}{6}} $.

2. Преобразуем знаменатель.

Представим комплексное число $ z = i\sqrt{3} - 1 = -1 + i\sqrt{3} $ в показательной форме.

Модуль: $ r = |-1 + i\sqrt{3}| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2 $.

Аргумент: $ \cos\varphi = -1/2 $, $ \sin\varphi = \sqrt{3}/2 $, что соответствует углу $ \varphi = \frac{2\pi}{3} $.

Следовательно, $ -1 + i\sqrt{3} = 2e^{i\frac{2\pi}{3}} $.

Возведем в четвертую степень: $ (-1 + i\sqrt{3})^4 = \left(2e^{i\frac{2\pi}{3}}\right)^4 = 2^4 e^{i\frac{8\pi}{3}} = 16 e^{i\frac{8\pi}{3}} $.

Упростим аргумент: $ \frac{8\pi}{3} = \frac{6\pi+2\pi}{3} = 2\pi + \frac{2\pi}{3} $. Поскольку $2\pi$ - полный оборот, $ e^{i\frac{8\pi}{3}} = e^{i\frac{2\pi}{3}} $.

Знаменатель равен $ 16 e^{i\frac{2\pi}{3}} $.

3. Вычислим частное.

$ \frac{16 e^{i\frac{7\pi}{6}}}{16 e^{i\frac{2\pi}{3}}} = e^{i\frac{7\pi}{6} - i\frac{2\pi}{3}} = e^{i\left(\frac{7\pi-4\pi}{6}\right)} = e^{i\frac{3\pi}{6}} = e^{i\frac{\pi}{2}} $.

Переведем результат в алгебраическую форму:

$ e^{i\frac{\pi}{2}} = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 + i(1) = i $.

Ответ: $i$

17.20 a) Пусть $z$ — комплексное число: $|z| = 2, \arg z = \frac{\pi}{3}$. Найдите модуль и один из аргументов числа $z^3 - 8i$.

б) Пусть $z$ — комплексное число: $|z| = \frac{1}{2}, \arg z = \frac{\pi}{4}$. Найдите модуль и один из аргументов числа $32z^4 + 2\sqrt{3}i$.

Дано комплексное число $z$, для которого $|z| = 2$ и $\arg z = \frac{\pi}{3}$. Требуется найти модуль и один из аргументов комплексного числа $w = z^3 - 8i$.

Для начала найдем $z^3$. Удобно использовать тригонометрическую форму комплексного числа и формулу Муавра. Тригонометрическая форма числа $z$: $z = |z|(\cos(\arg z) + i \sin(\arg z)) = 2\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)$.

По формуле Муавра $z^n = |z|^n(\cos(n\phi) + i \sin(n\phi))$, где $\phi = \arg z$. При $n=3$ получаем: $z^3 = 2^3\left(\cos\left(3 \cdot \frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{3}\right)\right) = 8(\cos(\pi) + i \sin(\pi))$.

Поскольку $\cos(\pi) = -1$ и $\sin(\pi) = 0$, то $z^3 = 8(-1 + i \cdot 0) = -8$.

Теперь мы можем вычислить число $w$: $w = z^3 - 8i = -8 - 8i$.

Найдем модуль числа $w = -8 - 8i$. Для комплексного числа $a+bi$ модуль вычисляется по формуле $|w| = \sqrt{a^2 + b^2}$. $|w| = \sqrt{(-8)^2 + (-8)^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$.

Найдем один из аргументов $\phi$ числа $w$. Для этого определим, в какой четверти комплексной плоскости находится число. Так как действительная часть ($\text{Re}(w) = -8$) и мнимая часть ($\text{Im}(w) = -8$) отрицательны, число находится в третьей четверти. Аргумент можно найти из системы уравнений: $\cos\phi = \frac{\text{Re}(w)}{|w|} = \frac{-8}{8\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin\phi = \frac{\text{Im}(w)}{|w|} = \frac{-8}{8\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ Одно из значений угла, удовлетворяющее этим условиям, это $\phi = -\frac{3\pi}{4}$ (или $\frac{5\pi}{4}$).

Ответ: модуль числа равен $8\sqrt{2}$, один из аргументов равен $-\frac{3\pi}{4}$.

Дано комплексное число $z$, для которого $|z| = \frac{1}{2}$ и $\arg z = \frac{\pi}{4}$. Требуется найти модуль и один из аргументов комплексного числа $W = 32z^4 + 2\sqrt{3}i$.

Сначала вычислим $z^4$, используя формулу Муавра $z^n = |z|^n(\cos(n\phi) + i \sin(n\phi))$: $z^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^4\left(\cos\left(4 \cdot \frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{4}\right)\right) = \frac{1}{16}(\cos(\pi) + i \sin(\pi))$.

Так как $\cos(\pi) = -1$ и $\sin(\pi) = 0$, получаем: $z^4 = \frac{1}{16}(-1 + i \cdot 0) = -\frac{1}{16}$.

Теперь подставим полученное значение в выражение для $W$: $W = 32z^4 + 2\sqrt{3}i = 32\left(-\frac{1}{16}\right) + 2\sqrt{3}i = -2 + 2\sqrt{3}i$.

Найдем модуль числа $W = -2 + 2\sqrt{3}i$: $|W| = \sqrt{(-2)^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 4 \cdot 3} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$.

Найдем один из аргументов $\phi$ числа $W$. Действительная часть $\text{Re}(W) = -2$ отрицательна, а мнимая часть $\text{Im}(W) = 2\sqrt{3}$ положительна, следовательно, число находится во второй четверти. Аргумент можно найти из системы уравнений: $\cos\phi = \frac{\text{Re}(W)}{|W|} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ $\sin\phi = \frac{\text{Im}(W)}{|W|} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ Единственное значение угла $\phi$ в интервале $(-\pi, \pi]$, удовлетворяющее этим условиям, это $\phi = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: модуль числа равен $4$, один из аргументов равен $\frac{2\pi}{3}$.

17.21 a) Найдите множество точек $z$ комплексной плоскости, удовлетворяющих условию $z \cdot \bar{z} = (2 + i)^2 + \frac{17}{1 + 4i}$. Среди этих точек найдите такие, для которых выполняется равенство $|z| = |z - 2i|$, и запишите числа, соответствующие этим точкам, в тригонометрической форме.

б) Найдите множество точек $z$ комплексной плоскости, удовлетворяющих условию $z \cdot \bar{z} = (4 - i)^2 + \frac{65}{1 - 8i}$. Среди этих точек найдите такие, для которых выполняется равенство $|z| = |z + 4|$, и запишите числа, соответствующие этим точкам, в тригонометрической форме.

а)

Сначала найдем множество точек, удовлетворяющих первому условию: $z \cdot \bar{z} = (2 + i)^2 + \frac{17}{1 + 4i}$.

Известно, что для комплексного числа $z = x + yi$ произведение $z \cdot \bar{z} = (x+yi)(x-yi) = x^2 + y^2 = |z|^2$.

Преобразуем правую часть равенства:

1. $(2 + i)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot i + i^2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i$.

2. $\frac{17}{1 + 4i} = \frac{17(1 - 4i)}{(1 + 4i)(1 - 4i)} = \frac{17(1 - 4i)}{1^2 - (4i)^2} = \frac{17(1 - 4i)}{1 - 16i^2} = \frac{17(1 - 4i)}{1 + 16} = 1 - 4i$.

Подставим полученные значения в исходное уравнение:

$|z|^2 = (3 + 4i) + (1 - 4i) = 4$.

Таким образом, $|z| = 2$. Это уравнение описывает на комплексной плоскости окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=2$. В координатной форме: $x^2 + y^2 = 4$.

Теперь рассмотрим второе условие: $|z| = |z - 2i|$.

Это равенство означает, что расстояние от точки $z$ до начала координат (число $0$) равно расстоянию от точки $z$ до точки, соответствующей числу $2i$. Геометрически, это множество точек является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точки $0$ и $2i$ (т.е. точки $(0,0)$ и $(0,2)$). Этот перпендикуляр — горизонтальная прямая $y=1$.

Для проверки решим алгебраически. Пусть $z = x + yi$:

$|x+yi| = |x+yi-2i| = |x+(y-2)i|$.

$\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{x^2+(y-2)^2}$.

Возведем обе части в квадрат: $x^2+y^2 = x^2+(y-2)^2 \Rightarrow y^2 = y^2-4y+4 \Rightarrow 4y=4 \Rightarrow y=1$.

Чтобы найти искомые точки, нужно найти точки пересечения окружности $x^2 + y^2 = 4$ и прямой $y=1$.

Подставим $y=1$ в уравнение окружности: $x^2 + 1^2 = 4 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3}$.

Получаем два комплексных числа: $z_1 = \sqrt{3} + i$ и $z_2 = -\sqrt{3} + i$.

Запишем эти числа в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$. Для обоих чисел модуль $r = |z| = 2$.

Для $z_1 = \sqrt{3} + i$ (первая четверть): $\cos\varphi_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\varphi_1 = \frac{1}{2}$. Отсюда $\varphi_1 = \frac{\pi}{6}$.

Для $z_2 = -\sqrt{3} + i$ (вторая четверть): $\cos\varphi_2 = \frac{-\sqrt{3}}{2}$, $\sin\varphi_2 = \frac{1}{2}$. Отсюда $\varphi_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Ответ: $z_1 = 2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$, $z_2 = 2(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6})$.

б)

Сначала найдем множество точек, удовлетворяющих первому условию: $z \cdot \bar{z} = (4 - i)^2 + \frac{65}{1 - 8i}$.

Как и в предыдущем пункте, $z \cdot \bar{z} = |z|^2$.

Преобразуем правую часть равенства:

1. $(4 - i)^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot i + i^2 = 16 - 8i - 1 = 15 - 8i$.

2. $\frac{65}{1 - 8i} = \frac{65(1 + 8i)}{(1 - 8i)(1 + 8i)} = \frac{65(1 + 8i)}{1^2 - (8i)^2} = \frac{65(1 + 8i)}{1 - 64i^2} = \frac{65(1 + 8i)}{1 + 64} = 1 + 8i$.

Подставим полученные значения в исходное уравнение:

$|z|^2 = (15 - 8i) + (1 + 8i) = 16$.

Таким образом, $|z| = 4$. Это уравнение описывает на комплексной плоскости окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=4$. В координатной форме: $x^2 + y^2 = 16$.

Теперь рассмотрим второе условие: $|z| = |z + 4|$.

Это равенство означает, что расстояние от точки $z$ до начала координат (число $0$) равно расстоянию от точки $z$ до точки, соответствующей числу $-4$. Геометрически, это множество точек является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точки $0$ и $-4$ (т.е. точки $(0,0)$ и $(-4,0)$). Этот перпендикуляр — вертикальная прямая $x=-2$.

Для проверки решим алгебраически. Пусть $z = x + yi$:

$|x+yi| = |x+yi+4| = |(x+4)+yi|$.

$\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{(x+4)^2+y^2}$.

Возведем обе части в квадрат: $x^2+y^2 = (x+4)^2+y^2 \Rightarrow x^2 = x^2+8x+16 \Rightarrow 8x=-16 \Rightarrow x=-2$.

Чтобы найти искомые точки, нужно найти точки пересечения окружности $x^2 + y^2 = 16$ и прямой $x=-2$.

Подставим $x=-2$ в уравнение окружности: $(-2)^2 + y^2 = 16 \Rightarrow 4 + y^2 = 16 \Rightarrow y^2 = 12 \Rightarrow y = \pm\sqrt{12} = \pm2\sqrt{3}$.

Получаем два комплексных числа: $z_1 = -2 + 2\sqrt{3}i$ и $z_2 = -2 - 2\sqrt{3}i$.

Запишем эти числа в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$. Для обоих чисел модуль $r = |z| = 4$.

Для $z_1 = -2 + 2\sqrt{3}i$ (вторая четверть): $\cos\varphi_1 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$, $\sin\varphi_1 = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Отсюда $\varphi_1 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Для $z_2 = -2 - 2\sqrt{3}i$ (третья четверть): $\cos\varphi_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$, $\sin\varphi_2 = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Отсюда $\varphi_2 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

Ответ: $z_1 = 4(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3})$, $z_2 = 4(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3})$.