Страница 390 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Каким образом устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и комплексными числами?

Взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и комплексными числами устанавливается через их геометрическую интерпретацию на так называемой комплексной плоскости (или плоскости Аргана-Гаусса).

Этот процесс основан на следующих принципах:

1. Используется стандартная двумерная декартова система координат.

2. Горизонтальная ось (ось абсцисс $Ox$) называется действительной осью ($Re$). На ней откладывается действительная часть комплексного числа.

3. Вертикальная ось (ось ординат $Oy$) называется мнимой осью ($Im$). На ней откладывается мнимая часть комплексного числа.

Таким образом, каждому комплексному числу в алгебраической форме $z = a + bi$ ставится в соответствие единственная точка $M$ на плоскости с координатами $(a, b)$. И наоборот, каждой точке $M(a, b)$ на плоскости соответствует единственное комплексное число $z = a + bi$.

Например:

• Числу $z_1 = 2 + 3i$ соответствует точка с координатами $(2, 3)$.

• Действительному числу $z_2 = -4$ (то есть $-4 + 0i$) соответствует точка $(-4, 0)$ на действительной оси.

• Чисто мнимому числу $z_3 = 5i$ (то есть $0 + 5i$) соответствует точка $(0, 5)$ на мнимой оси.

Это соответствие является взаимно однозначным (биективным), поскольку:

• Два разных комплексных числа $z_1 = a_1 + b_1i$ и $z_2 = a_2 + b_2i$ не могут соответствовать одной и той же точке, так как для их равенства необходимо, чтобы $a_1=a_2$ и $b_1=b_2$.

• Для любой точки $(a, b)$ на плоскости всегда найдется соответствующее ей комплексное число $z = a + bi$.

Такое представление позволяет не только однозначно сопоставить числа и точки, но и геометрически интерпретировать операции с комплексными числами. Например, комплексное число $z = a + bi$ можно также представить в виде радиус-вектора, идущего из начала координат в точку $(a, b)$.

Ответ: Взаимно однозначное соответствие устанавливается путем сопоставления каждого комплексного числа вида $z = a + bi$ с точкой, имеющей координаты $(a, b)$ на координатной плоскости, где горизонтальная ось является действительной осью (для $a$), а вертикальная — мнимой осью (для $b$).

16.42° Что называют комплексной плоскостью?

Комплексная плоскость (также известная как плоскость Аргана или плоскость Гаусса) — это способ геометрического представления множества комплексных чисел. Она представляет собой обычную двумерную плоскость с введенной на ней прямоугольной (декартовой) системой координат.

Ключевая идея состоит в установлении взаимно-однозначного соответствия между каждым комплексным числом вида $z = a + bi$ и точкой на плоскости с координатами $(a, b)$.

Оси этой координатной системы имеют специальные названия:

• Действительная (вещественная) ось: Это горизонтальная ось координат (ось абсцисс, $Ox$). На ней откладывается действительная часть комплексного числа, $a = \text{Re}(z)$.
• Мнимая ось: Это вертикальная ось координат (ось ординат, $Oy$). На ней откладывается мнимая часть комплексного числа, $b = \text{Im}(z)$.

Таким образом, любое комплексное число $z = a + bi$, где $a$ и $b$ — действительные числа, а $i$ — мнимая единица ($i^2 = -1$), изображается на комплексной плоскости как точка $M$ с координатами $(a, b)$. Также это число можно представить в виде радиус-вектора $\vec{OM}$, проведенного из начала координат $O(0, 0)$ в точку $M(a, b)$.

Например, комплексное число $z = 2 + 3i$ будет представлено точкой с координатами $(2, 3)$. Чисто действительное число, например $z = -4$ (т.е. $-4 + 0i$), будет лежать на действительной оси в точке $(-4, 0)$. Чисто мнимое число, например $z = i$ (т.е. $0 + 1i$), будет лежать на мнимой оси в точке $(0, 1)$.

Такое геометрическое представление очень полезно, так как оно позволяет наглядно интерпретировать алгебраические операции с комплексными числами (сложение, умножение и др.) как геометрические преобразования на плоскости (параллельные переносы, повороты, растяжения).

Ответ: Комплексной плоскостью называют плоскость с прямоугольной системой координат, предназначенную для геометрического изображения комплексных чисел. Горизонтальную ось (ось абсцисс) называют действительной осью, а вертикальную (ось ординат) — мнимой осью. Каждому комплексному числу $z = a + bi$ ставится в соответствие точка с координатами $(a, b)$ на этой плоскости.

16.43° Что называют модулем комплексного числа?

Для того чтобы понять, что такое модуль комплексного числа, давайте сначала вспомним, что такое комплексное число и как его можно представить.

Комплексное число в своей алгебраической форме записывается как $z = a + bi$, где $a$ — это действительная часть числа (обозначается $Re(z)$), $b$ — мнимая часть (обозначается $Im(z)$), а $i$ — так называемая мнимая единица, для которой выполняется равенство $i^2 = -1$.

Каждому комплексному числу $z = a + bi$ можно однозначно поставить в соответствие точку $M$ с координатами $(a, b)$ на координатной плоскости. Такая плоскость называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс ($Ox$) при этом называется действительной осью, а ось ординат ($Oy$) — мнимой осью. Также комплексное число можно представить в виде вектора $\vec{OM}$, который соединяет начало координат $O(0, 0)$ с точкой $M(a, b)$.

Модулем комплексного числа $z = a + bi$ называется длина вектора $\vec{OM}$ или, что эквивалентно, расстояние от начала координат до точки $M(a, b)$, которая изображает это число на комплексной плоскости. Модуль комплексного числа является неотрицательным действительным числом и обозначается как $|z|$ или $r$.

Исходя из геометрического смысла, формулу для вычисления модуля легко получить с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами, равными $a$ и $b$, и гипотенузой, равной $|z|$.

Формула для вычисления модуля: $$ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $$

Пример:
Найдем модуль комплексного числа $z = 4 - 3i$. Здесь действительная часть $a=4$, а мнимая часть $b=-3$. Подставим эти значения в формулу: $$ |z| = |4 - 3i| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 $$

Ответ: Модулем комплексного числа $z = a + bi$ называют неотрицательное действительное число, равное корню квадратному из суммы квадратов его действительной и мнимой частей. Геометрически модуль представляет собой расстояние от начала координат до точки $(a, b)$ на комплексной плоскости. Формула для вычисления модуля: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

16.44 Найдите на комплексной плоскости точку, соответствующую комплексному числу:

а) $2$;

б) $-2$;

в) $i$;

г) $-i$;

д) $2 + i$;

е) $2 - i$;

ж) $-2 + i$;

з) $-2 - i$.

Каждому комплексному числу вида $z = a + bi$, где $a$ и $b$ — действительные числа, на комплексной плоскости соответствует точка с координатами $(a, b)$. Действительная часть числа, $a = \text{Re}(z)$, откладывается по горизонтальной оси (оси абсцисс), а мнимая часть, $b = \text{Im}(z)$, — по вертикальной оси (оси ординат).

а)

Комплексное число $z = 2$ можно представить в алгебраической форме как $z = 2 + 0i$. Здесь действительная часть $a = 2$, а мнимая часть $b = 0$. Следовательно, на комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(2, 0)$.

Ответ: $(2, 0)$.

б)

Комплексное число $z = -2$ можно представить в виде $z = -2 + 0i$. Действительная часть $a = -2$, мнимая часть $b = 0$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(-2, 0)$.

Ответ: $(-2, 0)$.

в)

Комплексное число $z = i$ можно представить в виде $z = 0 + 1i$. Действительная часть $a = 0$, мнимая часть $b = 1$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(0, 1)$.

Ответ: $(0, 1)$.

г)

Комплексное число $z = -i$ можно представить в виде $z = 0 - 1i$. Действительная часть $a = 0$, мнимая часть $b = -1$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(0, -1)$.

Ответ: $(0, -1)$.

д)

Для комплексного числа $z = 2 + i$ действительная часть $a = 2$, а мнимая часть $b = 1$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(2, 1)$.

Ответ: $(2, 1)$.

е)

Для комплексного числа $z = 2 - i$ действительная часть $a = 2$, а мнимая часть $b = -1$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(2, -1)$.

Ответ: $(2, -1)$.

ж)

Для комплексного числа $z = -2 + i$ действительная часть $a = -2$, а мнимая часть $b = 1$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(-2, 1)$.

Ответ: $(-2, 1)$.

з)

Для комплексного числа $z = -2 - i$ действительная часть $a = -2$, а мнимая часть $b = -1$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(-2, -1)$.

Ответ: $(-2, -1)$.

16.45 Какому комплексному числу соответствует точка комплексной плоскости:

а) $(1; 0)$;

б) $(0; 1)$;

в) $(-1; 0)$;

г) $(0; -1)$;

д) $(-2; 4)$;

е) $(4; -2)$;

ж) $(1; 1)$;

з) $(-1; -1)$?

Каждой точке с координатами $(x; y)$ на комплексной плоскости ставится в соответствие комплексное число в алгебраической форме $z = x + yi$. В этой записи $x$ — это действительная часть комплексного числа (Re $z$), которая откладывается по горизонтальной оси (оси абсцисс), а $y$ — это мнимая часть (Im $z$), которая откладывается по вертикальной оси (оси ординат).

а) Для точки с координатами $(1; 0)$ действительная часть $x=1$, а мнимая часть $y=0$. Соответствующее комплексное число: $z = 1 + 0 \cdot i = 1$. Ответ: $1$.

б) Для точки с координатами $(0; 1)$ действительная часть $x=0$, а мнимая часть $y=1$. Соответствующее комплексное число: $z = 0 + 1 \cdot i = i$. Ответ: $i$.

в) Для точки с координатами $(-1; 0)$ действительная часть $x=-1$, а мнимая часть $y=0$. Соответствующее комплексное число: $z = -1 + 0 \cdot i = -1$. Ответ: $-1$.

г) Для точки с координатами $(0; -1)$ действительная часть $x=0$, а мнимая часть $y=-1$. Соответствующее комплексное число: $z = 0 + (-1) \cdot i = -i$. Ответ: $-i$.

д) Для точки с координатами $(-2; 4)$ действительная часть $x=-2$, а мнимая часть $y=4$. Соответствующее комплексное число: $z = -2 + 4i$. Ответ: $-2 + 4i$.

е) Для точки с координатами $(4; -2)$ действительная часть $x=4$, а мнимая часть $y=-2$. Соответствующее комплексное число: $z = 4 + (-2) \cdot i = 4 - 2i$. Ответ: $4 - 2i$.

ж) Для точки с координатами $(1; 1)$ действительная часть $x=1$, а мнимая часть $y=1$. Соответствующее комплексное число: $z = 1 + 1 \cdot i = 1 + i$. Ответ: $1 + i$.

з) Для точки с координатами $(-1; -1)$ действительная часть $x=-1$, а мнимая часть $y=-1$. Соответствующее комплексное число: $z = -1 + (-1) \cdot i = -1 - i$. Ответ: $-1 - i$.

16.46 Какое геометрическое истолкование можно дать сумме и модулю разности комплексных чисел?

Сумма комплексных чисел

Каждое комплексное число $z = a + bi$ можно представить на комплексной плоскости в виде радиус-вектора, проведенного из начала координат в точку с координатами $(a, b)$.Пусть даны два комплексных числа $z_1 = a_1 + b_1i$ и $z_2 = a_2 + b_2i$. Их сумма $z_s = z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i$.На комплексной плоскости этому числу $z_s$ соответствует вектор с координатами $(a_1 + a_2, b_1 + b_2)$.

Координаты результирующего вектора равны сумме соответствующих координат исходных векторов, что соответствует правилу сложения векторов в геометрии. Геометрически сложение двух векторов, соответствующих числам $z_1$ и $z_2$, можно выполнить по правилу параллелограмма. Вектор суммы $z_1 + z_2$ будет диагональю параллелограмма, построенного на векторах, соответствующих $z_1$ и $z_2$, как на сторонах, и выходящей из их общего начала. Также можно использовать правило треугольника: к концу вектора, изображающего $z_1$, пристраивается вектор, изображающий $z_2$. Тогда вектор, соединяющий начало первого вектора с концом второго, будет изображать их сумму.
Ответ: Сумма двух комплексных чисел геометрически представляется вектором, который является векторной суммой двух векторов, соответствующих слагаемым. Этот вектор-сумма является диагональю параллелограмма, построенного на векторах-слагаемых.

Модуль разности комплексных чисел

Пусть, как и ранее, комплексным числам $z_1 = a_1 + b_1i$ и $z_2 = a_2 + b_2i$ соответствуют точки $M_1(a_1, b_1)$ и $M_2(a_2, b_2)$ на комплексной плоскости.Разность этих чисел $z_d = z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i$.

Модуль комплексного числа $z = x + yi$ определяется по формуле $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ и геометрически равен длине вектора, соответствующего числу $z$, то есть расстоянию от начала координат до точки $(x, y)$.Вычислим модуль разности:$|z_1 - z_2| = |(a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i| = \sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2}$.

Полученное выражение является формулой расстояния между двумя точками на плоскости с координатами $(a_1, b_1)$ и $(a_2, b_2)$. Следовательно, модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию между точками, которые представляют эти числа на комплексной плоскости. Также это можно интерпретировать как длину вектора $\vec{M_2M_1}$, соединяющего точку, соответствующую $z_2$, с точкой, соответствующей $z_1$.
Ответ: Модуль разности двух комплексных чисел $|z_1 - z_2|$ геометрически равен расстоянию между точками на комплексной плоскости, соответствующими этим числам.

Найдите множество точек z комплексной плоскости, удовлетворяющих условию (16.47–16.50):

16.47 а) $ |z|=4; $

б) $ |z| \leq 4; $

в) $ |z| \geq 4. $

Для решения данной задачи необходимо понимать геометрический смысл модуля комплексного числа. Пусть комплексное число $z$ задано в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x$ — действительная часть, а $y$ — мнимая часть. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(x, y)$. Модуль комплексного числа, обозначаемый как $|z|$, представляет собой расстояние от точки $(x, y)$ до начала координат $(0, 0)$ и вычисляется по формуле $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Выражение $|z - z_0| = R$ геометрически описывает окружность с центром в точке $z_0$ и радиусом $R$. В нашем случае $z_0 = 0$.

Условие $|z| = 4$ означает, что расстояние от точки, соответствующей комплексному числу $z$, до начала координат равно 4.

В координатной форме это записывается как:

$\sqrt{x^2 + y^2} = 4$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$x^2 + y^2 = 4^2$

$x^2 + y^2 = 16$

Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = 4$.

Ответ: Множество точек $z$ — это окружность с центром в начале координат и радиусом 4.

Условие $|z| \leq 4$ означает, что расстояние от точки $z$ до начала координат меньше или равно 4.

В координатной форме это неравенство выглядит так:

$\sqrt{x^2 + y^2} \leq 4$

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$x^2 + y^2 \leq 4^2$

$x^2 + y^2 \leq 16$

Это неравенство описывает все точки, которые находятся на расстоянии не более 4 от начала координат. Геометрически это замкнутый круг с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R=4$. Множество включает как все точки внутри окружности, так и саму окружность.

Ответ: Множество точек $z$ — это замкнутый круг с центром в начале координат и радиусом 4.

Условие $|z| \geq 4$ означает, что расстояние от точки $z$ до начала координат больше или равно 4.

В координатной форме:

$\sqrt{x^2 + y^2} \geq 4$

Возводим обе части в квадрат:

$x^2 + y^2 \geq 4^2$

$x^2 + y^2 \geq 16$

Это неравенство описывает все точки, которые удалены от начала координат на расстояние не менее 4. Геометрически это множество точек, лежащих на окружности с центром в $(0, 0)$ и радиусом $R=4$, а также всех точек, лежащих вне этой окружности.

Ответ: Множество точек $z$ — это объединение окружности с центром в начале координат и радиусом 4 и области вне этой окружности.

16.48 a) $|z - 3| = 2;$

б) $|z - 3| \leq 2;$

в) $|z - 3| \geq 2;$

г) $|z - i| = 2;$

д) $|z - i| \leq 2;$

е) $|z - i| \geq 2;$

ж) $1 \leq |z + 1| < 3;$

з) $1 \leq |z - i| < 4;$

и) $1 \leq |z - 1 - i| \leq 2.$

В данной задаче требуется определить геометрическое место точек на комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным уравнениям и неравенствам. Комплексное число $z$ можно представить в виде $z = x + iy$, где $x$ и $y$ — действительные числа. Величина $|z - z_0|$ представляет собой расстояние между точками, соответствующими комплексным числам $z$ и $z_0$ на комплексной плоскости.

а) $|z - 3| = 2$

Это уравнение описывает множество всех точек $z$, расстояние от которых до точки $z_0 = 3$ равно 2. На комплексной плоскости точка $z_0=3$ соответствует точке с координатами $(3, 0)$. Таким образом, данное уравнение задает окружность с центром в точке $(3, 0)$ и радиусом $R=2$. Если представить $z = x + iy$, то уравнение принимает вид: $| (x + iy) - 3 | = 2$ $| (x - 3) + iy | = 2$ $\sqrt{(x - 3)^2 + y^2} = 2$ Возводя в квадрат обе части, получаем каноническое уравнение окружности: $(x - 3)^2 + y^2 = 4$

Ответ: Окружность с центром в точке $(3, 0)$ и радиусом 2.

б) $|z - 3| \le 2$

Это неравенство описывает множество всех точек $z$, расстояние от которых до точки $z_0 = 3$ не превышает 2. Геометрически это представляет собой круг с центром в точке $(3, 0)$ и радиусом $R=2$, включая его границу (окружность). В координатах $x, y$ неравенство выглядит так: $(x - 3)^2 + y^2 \le 4$

Ответ: Круг с центром в точке $(3, 0)$ и радиусом 2, включая границу.

в) $|z - 3| \ge 2$

Это неравенство описывает множество всех точек $z$, расстояние от которых до точки $z_0 = 3$ не меньше 2. Это все точки комплексной плоскости, которые лежат на окружности с центром в $(3, 0)$ и радиусом $R=2$ или вне ее. В координатах $x, y$ неравенство выглядит так: $(x - 3)^2 + y^2 \ge 4$

Ответ: Множество точек, лежащих на окружности с центром в точке $(3, 0)$ и радиусом 2 и вне ее.

г) $|z - i| = 2$

Это уравнение описывает множество всех точек $z$, расстояние от которых до точки $z_0 = i$ равно 2. Точка $z_0=i$ имеет координаты $(0, 1)$. Это окружность с центром в точке $(0, 1)$ и радиусом $R=2$. Если $z = x + iy$: $| x + i(y - 1) | = 2$ $\sqrt{x^2 + (y - 1)^2} = 2$ $x^2 + (y - 1)^2 = 4$

Ответ: Окружность с центром в точке $(0, 1)$ и радиусом 2.

д) $|z - i| \le 2$

Это неравенство описывает множество всех точек $z$, расстояние от которых до точки $z_0 = i$ (т.е. $(0, 1)$) не превышает 2. Это круг с центром в точке $(0, 1)$ и радиусом $R=2$, включая его границу. В координатах $x, y$: $x^2 + (y - 1)^2 \le 4$

Ответ: Круг с центром в точке $(0, 1)$ и радиусом 2, включая границу.

е) $|z - i| \ge 2$

Это неравенство описывает множество всех точек $z$, расстояние от которых до точки $z_0 = i$ (т.е. $(0, 1)$) не меньше 2. Это все точки комплексной плоскости, которые лежат на окружности с центром в $(0, 1)$ и радиусом $R=2$ или вне ее. В координатах $x, y$: $x^2 + (y - 1)^2 \ge 4$

Ответ: Множество точек, лежащих на окружности с центром в точке $(0, 1)$ и радиусом 2 и вне ее.

ж) $1 \le |z + 1| < 3$

Это двойное неравенство можно переписать как $1 \le |z - (-1)| < 3$. Оно описывает множество точек $z$, расстояние от которых до точки $z_0 = -1$ (т.е. $(-1, 0)$) больше или равно 1 и строго меньше 3. Геометрически это кольцо с центром в точке $(-1, 0)$. Внутренняя граница, окружность $|z + 1| = 1$, принадлежит множеству. Внешняя граница, окружность $|z + 1| = 3$, не принадлежит множеству. В координатах $x, y$ ($z = x + iy$): $1 \le |(x + 1) + iy| < 3$ $1 \le \sqrt{(x + 1)^2 + y^2} < 3$ $1 \le (x + 1)^2 + y^2 < 9$

Ответ: Кольцо с центром в точке $(-1, 0)$, внутренним радиусом $R_1=1$ (включая границу) и внешним радиусом $R_2=3$ (не включая границу).

з) $1 \le |z - i| \le 4$

Это двойное неравенство описывает множество точек $z$, расстояние от которых до точки $z_0 = i$ (т.е. $(0, 1)$) находится в пределах от 1 до 4, включая обе границы. Это замкнутое кольцо с центром в точке $(0, 1)$, внутренним радиусом $R_1=1$ и внешним радиусом $R_2=4$. В координатах $x, y$: $1 \le |x + i(y - 1)| \le 4$ $1 \le \sqrt{x^2 + (y - 1)^2} \le 4$ $1 \le x^2 + (y - 1)^2 \le 16$

Ответ: Замкнутое кольцо с центром в точке $(0, 1)$, внутренним радиусом 1 и внешним радиусом 4.

и) $1 \le |z - 1 - i| \le 2$

Это двойное неравенство можно переписать как $1 \le |z - (1 + i)| \le 2$. Оно описывает множество точек $z$, расстояние от которых до точки $z_0 = 1 + i$ (т.е. $(1, 1)$) находится в пределах от 1 до 2, включая обе границы. Это замкнутое кольцо с центром в точке $(1, 1)$, внутренним радиусом $R_1=1$ и внешним радиусом $R_2=2$. В координатах $x, y$ ($z = x + iy$): $1 \le |(x - 1) + i(y - 1)| \le 2$ $1 \le \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 1)^2} \le 2$ $1 \le (x - 1)^2 + (y - 1)^2 \le 4$

Ответ: Замкнутое кольцо с центром в точке $(1, 1)$, внутренним радиусом 1 и внешним радиусом 2.

16.49 a) $|z - 4| = |z + 4i|;$

б) $|z + 2| = |z + 2i|.$

Для решения уравнения $|z - 4| = |z + 4i|$ представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + yi$, где $x$ и $y$ являются действительными числами.

Подставим это представление в исходное уравнение:
$|(x + yi) - 4| = |(x + yi) + 4i|$
Сгруппируем действительные и мнимые части в каждом выражении под знаком модуля:
$|(x - 4) + yi| = |x + (y + 4)i|$

Модуль комплексного числа вида $a + bi$ вычисляется по формуле $|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Применим эту формулу к обеим частям нашего уравнения:
$\sqrt{(x - 4)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (y + 4)^2}$

Чтобы избавиться от квадратных корней, возведем обе части уравнения в квадрат. Это является равносильным преобразованием, так как обе части неотрицательны.
$(x - 4)^2 + y^2 = x^2 + (y + 4)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности и квадрата суммы:
$x^2 - 8x + 16 + y^2 = x^2 + y^2 + 8y + 16$

Теперь упростим полученное выражение. Одинаковые слагаемые $x^2$, $y^2$ и $16$ в левой и правой частях взаимно уничтожаются:
$-8x = 8y$

Разделив обе части на 8, мы получаем окончательное уравнение, связывающее $x$ и $y$:
$y = -x$

Это уравнение прямой на комплексной плоскости. Геометрически, исходное уравнение $|z - z_1| = |z - z_2|$ описывает множество точек $z$, равноудаленных от точек $z_1 = 4$ и $z_2 = -4i$. Такое множество точек является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точки $(4, 0)$ и $(0, -4)$, что и задается уравнением $y = -x$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих уравнению, — это прямая $y=-x$ на комплексной плоскости.

Рассмотрим уравнение $|z + 2| = |z + 2i|$. Решим его аналогичным образом, представив $z$ в виде $z = x + yi$.

Подставим $z$ в уравнение:
$|(x + yi) + 2| = |(x + yi) + 2i|$
Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить действительную и мнимую части:
$|(x + 2) + yi| = |x + (y + 2)i|$

Используя формулу для модуля комплексного числа $|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$, получаем:
$\sqrt{(x + 2)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (y + 2)^2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(x + 2)^2 + y^2 = x^2 + (y + 2)^2$

Раскроем скобки:
$x^2 + 4x + 4 + y^2 = x^2 + y^2 + 4y + 4$

Упростим выражение, сократив одинаковые члены $x^2$, $y^2$ и $4$ с обеих сторон:
$4x = 4y$

Разделив обе части на 4, получаем итоговое уравнение:
$y = x$

Это уравнение также описывает прямую на комплексной плоскости. С геометрической точки зрения, это множество точек, равноудаленных от точек $z_1 = -2$ и $z_2 = -2i$, то есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему точки $(-2, 0)$ и $(0, -2)$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих уравнению, — это прямая $y=x$ на комплексной плоскости.

16.50 a) $\frac{|z+1|}{|z-2|} \ge 0,5$;

б) $\frac{|z+2i|}{|z-i|} \ge 2$.

а)

Дано неравенство $\frac{|z+1|}{|z-2|} \ge 0,5$.

Это неравенство определено для всех комплексных чисел $z$, для которых знаменатель не равен нулю, то есть $z-2 \neq 0$, откуда $z \neq 2$.

Представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$. Модуль комплексного числа $|a+bi|$ равен $\sqrt{a^2+b^2}$. Тогда:
$|z+1| = |(x+1)+iy| = \sqrt{(x+1)^2+y^2}$
$|z-2| = |(x-2)+iy| = \sqrt{(x-2)^2+y^2}$

Подставим эти выражения в исходное неравенство:
$\frac{\sqrt{(x+1)^2+y^2}}{\sqrt{(x-2)^2+y^2}} \ge 0,5$

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:
$\frac{(x+1)^2+y^2}{(x-2)^2+y^2} \ge 0,5^2 = 0,25$

Умножим обе части на знаменатель $(x-2)^2+y^2$. Так как $z \neq 2$, знаменатель строго больше нуля, поэтому знак неравенства сохраняется:
$(x+1)^2+y^2 \ge 0,25((x-2)^2+y^2)$

Раскроем скобки и преобразуем выражение:
$x^2+2x+1+y^2 \ge 0,25(x^2-4x+4+y^2)$
$x^2+2x+1+y^2 \ge 0,25x^2-x+1+0,25y^2$
$0,75x^2+3x+0,75y^2 \ge 0$

Разделим обе части на $0,75$:
$x^2+4x+y^2 \ge 0$

Выделим полный квадрат для переменной $x$:
$(x^2+4x+4) - 4 + y^2 \ge 0$
$(x+2)^2+y^2 \ge 4$
$(x+2)^2+y^2 \ge 2^2$

Это неравенство описывает множество точек на комплексной плоскости, которые лежат на окружности с центром в точке $(-2, 0)$ и радиусом $R=2$ или вне этой окружности. Центру окружности соответствует комплексное число $z_0 = -2$. Необходимо учесть первоначальное условие $z \neq 2$. Точка $z=2$ (координаты $(2,0)$) удовлетворяет полученному неравенству, так как $(2+2)^2+0^2=16 \ge 4$. Следовательно, эту точку необходимо исключить из множества решений.

Ответ: Множество точек, лежащих на окружности $|z+2|=2$ и вне ее, за исключением точки $z=2$. Геометрически это внешность круга с центром в точке $z_0=-2$ и радиусом $R=2$, включая его границу, с выколотой точкой $z=2$.

б)

Дано неравенство $\frac{|z+2i|}{|z-i|} \ge 2$.

Неравенство имеет смысл при $z-i \neq 0$, то есть $z \neq i$.

Пусть $z=x+iy$. Тогда:
$|z+2i| = |x+i(y+2)| = \sqrt{x^2+(y+2)^2}$
$|z-i| = |x+i(y-1)| = \sqrt{x^2+(y-1)^2}$

Подставим эти выражения в неравенство и, так как обе части неотрицательны, возведем в квадрат:
$\frac{x^2+(y+2)^2}{x^2+(y-1)^2} \ge 2^2 = 4$

Умножим на знаменатель, который строго положителен при $z \neq i$:
$x^2+(y+2)^2 \ge 4(x^2+(y-1)^2)$

Раскроем скобки и упростим:
$x^2+y^2+4y+4 \ge 4(x^2+y^2-2y+1)$
$x^2+y^2+4y+4 \ge 4x^2+4y^2-8y+4$
$0 \ge 3x^2+3y^2-12y$

Разделим обе части на 3:
$0 \ge x^2+y^2-4y$
$x^2+y^2-4y \le 0$

Выделим полный квадрат для переменной $y$:
$x^2+(y^2-4y+4)-4 \le 0$
$x^2+(y-2)^2 \le 4$
$x^2+(y-2)^2 \le 2^2$

Это неравенство описывает замкнутый круг с центром в точке $(0, 2)$ и радиусом $R=2$. Центру круга соответствует комплексное число $z_0=2i$. Вспомним об ограничении $z \neq i$. Точка $z=i$ (координаты $(0,1)$) удовлетворяет полученному неравенству, так как $0^2+(1-2)^2=1 \le 4$. Значит, эта точка лежит внутри круга и должна быть исключена из решения.

Ответ: Множество точек, лежащих на окружности $|z-2i|=2$ и внутри нее, за исключением точки $z=i$. Геометрически это замкнутый круг с центром в точке $z_0=2i$ и радиусом $R=2$, из которого выколота точка $z=i$.

Найдите комплексное число z, удовлетворяющее следующему условию, и соответствующую ему точку комплексной плоскости (16.51–16.52):

16.51 a) $zi = 5 - 2i$;

б) $-3 + i = z(1 + i)$.

а) Дано уравнение $zi = 5 - 2i$.

Чтобы найти комплексное число $z$, разделим обе части уравнения на $i$:

$z = \frac{5 - 2i}{i}$

Для выполнения деления на комплексное число, умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю. Знаменатель равен $i$, сопряженное ему число равно $-i$.

$z = \frac{5 - 2i}{i} \cdot \frac{-i}{-i} = \frac{(5 - 2i)(-i)}{-i^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$(5 - 2i)(-i) = 5(-i) - 2i(-i) = -5i + 2i^2$

Так как $i^2 = -1$, получаем:

$-5i + 2(-1) = -2 - 5i$

Вычислим знаменатель:

$-i^2 = -(-1) = 1$

Таким образом, получаем значение $z$:

$z = \frac{-2 - 5i}{1} = -2 - 5i$

Комплексному числу $z = a + bi$ соответствует точка на комплексной плоскости с координатами $(a, b)$. Для числа $z = -2 - 5i$ действительная часть $a = -2$, а мнимая часть $b = -5$.

Следовательно, соответствующая точка на комплексной плоскости имеет координаты $(-2, -5)$.

Ответ: Комплексное число $z = -2 - 5i$; соответствующая точка на комплексной плоскости: $(-2, -5)$.

б) Дано уравнение $-3 + i = z(1 + i)$.

Чтобы найти комплексное число $z$, разделим левую часть уравнения на $(1 + i)$:

$z = \frac{-3 + i}{1 + i}$

Для выполнения деления умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю. Знаменатель равен $1 + i$, сопряженное ему число равно $1 - i$.

$z = \frac{-3 + i}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{(-3 + i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(-3 + i)(1 - i) = -3(1) -3(-i) + i(1) + i(-i) = -3 + 3i + i - i^2$

Так как $i^2 = -1$, получаем:

$-3 + 4i - (-1) = -3 + 4i + 1 = -2 + 4i$

Вычислим знаменатель по формуле $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ или, для комплексных чисел, $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$:

$(1 + i)(1 - i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$

Таким образом, получаем значение $z$:

$z = \frac{-2 + 4i}{2} = \frac{-2}{2} + \frac{4i}{2} = -1 + 2i$

Комплексному числу $z = -1 + 2i$ соответствует точка на комплексной плоскости с координатами $(-1, 2)$, где $a = -1$ и $b = 2$.

Ответ: Комплексное число $z = -1 + 2i$; соответствующая точка на комплексной плоскости: $(-1, 2)$.

16.52 a) $z(-3 + 2i) = 5 - 55i;$

б) $-7 + 1,5i = z(5 - 4i).$

а)

Дано уравнение $z(-3 + 2i) = 5 - 55i$.

Для того чтобы найти комплексное число $z$, необходимо разделить правую часть уравнения на множитель при $z$:

$z = \frac{5 - 55i}{-3 + 2i}$

Чтобы выполнить деление, умножим числитель и знаменатель дроби на комплексное число, сопряженное знаменателю. Комплексно сопряженным к числу $(-3 + 2i)$ является число $(-3 - 2i)$.

$z = \frac{(5 - 55i)(-3 - 2i)}{(-3 + 2i)(-3 - 2i)}$

Сначала вычислим знаменатель. Произведение комплексно сопряженных чисел равно сумме квадратов их действительной и мнимой частей:

$(-3 + 2i)(-3 - 2i) = (-3)^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$

Теперь вычислим числитель, перемножая скобки:

$(5 - 55i)(-3 - 2i) = 5 \cdot (-3) + 5 \cdot (-2i) - 55i \cdot (-3) - 55i \cdot (-2i)$

$= -15 - 10i + 165i + 110i^2$

По определению мнимой единицы $i^2 = -1$. Подставим это значение в выражение:

$= -15 + 155i + 110(-1) = -15 - 110 + 155i = -125 + 155i$

Теперь подставим полученные значения числителя и знаменателя в выражение для $z$:

$z = \frac{-125 + 155i}{13}$

Разделим действительную и мнимую части на 13:

$z = -\frac{125}{13} + \frac{155}{13}i$

Ответ: $z = -\frac{125}{13} + \frac{155}{13}i$.

б)

Дано уравнение $-7 + 1.5i = z(5 - 4i)$.

Для того чтобы найти $z$, необходимо разделить левую часть уравнения на множитель при $z$:

$z = \frac{-7 + 1.5i}{5 - 4i}$

Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю. Комплексно сопряженным к числу $(5 - 4i)$ является число $(5 + 4i)$.

$z = \frac{(-7 + 1.5i)(5 + 4i)}{(5 - 4i)(5 + 4i)}$

Вычислим знаменатель:

$(5 - 4i)(5 + 4i) = 5^2 + 4^2 = 25 + 16 = 41$

Вычислим числитель:

$(-7 + 1.5i)(5 + 4i) = -7 \cdot 5 - 7 \cdot 4i + 1.5i \cdot 5 + 1.5i \cdot 4i$

$= -35 - 28i + 7.5i + 6i^2$

Так как $i^2 = -1$, получаем:

$= -35 - 28i + 7.5i - 6 = (-35 - 6) + (-28 + 7.5)i = -41 - 20.5i$

Теперь найдем $z$:

$z = \frac{-41 - 20.5i}{41}$

Разделим действительную и мнимую части на 41:

$z = \frac{-41}{41} - \frac{20.5}{41}i = -1 - 0.5i$

Ответ: $z = -1 - 0.5i$.