Номер 16.51, страница 390 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел - номер 16.51, страница 390.

Условие.

Найдите комплексное число z, удовлетворяющее следующему условию, и соответствующую ему точку комплексной плоскости (16.51–16.52):

16.51 a) $zi = 5 - 2i$;

б) $-3 + i = z(1 + i)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Дано уравнение $zi = 5 - 2i$.

Чтобы найти комплексное число $z$, разделим обе части уравнения на $i$:

$z = \frac{5 - 2i}{i}$

Для выполнения деления на комплексное число, умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю. Знаменатель равен $i$, сопряженное ему число равно $-i$.

$z = \frac{5 - 2i}{i} \cdot \frac{-i}{-i} = \frac{(5 - 2i)(-i)}{-i^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$(5 - 2i)(-i) = 5(-i) - 2i(-i) = -5i + 2i^2$

Так как $i^2 = -1$, получаем:

$-5i + 2(-1) = -2 - 5i$

Вычислим знаменатель:

$-i^2 = -(-1) = 1$

Таким образом, получаем значение $z$:

$z = \frac{-2 - 5i}{1} = -2 - 5i$

Комплексному числу $z = a + bi$ соответствует точка на комплексной плоскости с координатами $(a, b)$. Для числа $z = -2 - 5i$ действительная часть $a = -2$, а мнимая часть $b = -5$.

Следовательно, соответствующая точка на комплексной плоскости имеет координаты $(-2, -5)$.

Ответ: Комплексное число $z = -2 - 5i$; соответствующая точка на комплексной плоскости: $(-2, -5)$.

б) Дано уравнение $-3 + i = z(1 + i)$.

Чтобы найти комплексное число $z$, разделим левую часть уравнения на $(1 + i)$:

$z = \frac{-3 + i}{1 + i}$

Для выполнения деления умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю. Знаменатель равен $1 + i$, сопряженное ему число равно $1 - i$.

$z = \frac{-3 + i}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{(-3 + i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(-3 + i)(1 - i) = -3(1) -3(-i) + i(1) + i(-i) = -3 + 3i + i - i^2$

Так как $i^2 = -1$, получаем:

$-3 + 4i - (-1) = -3 + 4i + 1 = -2 + 4i$

Вычислим знаменатель по формуле $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ или, для комплексных чисел, $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$:

$(1 + i)(1 - i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$

Таким образом, получаем значение $z$:

$z = \frac{-2 + 4i}{2} = \frac{-2}{2} + \frac{4i}{2} = -1 + 2i$

Комплексному числу $z = -1 + 2i$ соответствует точка на комплексной плоскости с координатами $(-1, 2)$, где $a = -1$ и $b = 2$.

Ответ: Комплексное число $z = -1 + 2i$; соответствующая точка на комплексной плоскости: $(-1, 2)$.