Номер 17.5, страница 394 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел - номер 17.5, страница 394.

Условие.

17.5 a) $z = \sqrt{3} + i$;

б) $z = \sqrt{3} - i$;

в) $z = -\sqrt{3} + i$;

г) $z = -\sqrt{3} - i$;

д) $z = 1 + \sqrt{3}i$;

e) $z = 1 - \sqrt{3}i$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для представления комплексного числа $z = x + yi$ в тригонометрической форме $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$ и показательной форме $z = re^{i\varphi}$, необходимо найти его модуль $r$ и аргумент $\varphi$.

Модуль вычисляется по формуле: $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Аргумент $\varphi$ находится из системы уравнений: $\cos \varphi = \frac{x}{r}$, $\sin \varphi = \frac{y}{r}$.

а) $z = \sqrt{3} + i$

Действительная часть $x = \sqrt{3}$, мнимая часть $y = 1$.

Найдем модуль комплексного числа:

$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем аргумент. Так как $x = \sqrt{3} > 0$ и $y = 1 > 0$, точка, соответствующая числу $z$, лежит в первой координатной четверти.

$\cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \varphi = \frac{1}{2}$.

Отсюда главный аргумент $\varphi = \frac{\pi}{6}$.

Тригонометрическая форма: $z = 2(\cos(\frac{\pi}{6}) + i \sin(\frac{\pi}{6}))$.

Показательная форма: $z = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$.

Ответ: $z = 2(\cos(\frac{\pi}{6}) + i \sin(\frac{\pi}{6})) = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$.

б) $z = \sqrt{3} - i$

Действительная часть $x = \sqrt{3}$, мнимая часть $y = -1$.

Найдем модуль комплексного числа:

$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем аргумент. Так как $x = \sqrt{3} > 0$ и $y = -1 < 0$, точка, соответствующая числу $z$, лежит в четвертой координатной четверти.

$\cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \varphi = -\frac{1}{2}$.

Отсюда главный аргумент $\varphi = -\frac{\pi}{6}$.

Тригонометрическая форма: $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6}))$.

Показательная форма: $z = 2e^{-i\frac{\pi}{6}}$.

Ответ: $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6})) = 2e^{-i\frac{\pi}{6}}$.

в) $z = -\sqrt{3} + i$

Действительная часть $x = -\sqrt{3}$, мнимая часть $y = 1$.

Найдем модуль комплексного числа:

$r = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем аргумент. Так как $x = -\sqrt{3} < 0$ и $y = 1 > 0$, точка, соответствующая числу $z$, лежит во второй координатной четверти.

$\cos \varphi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \varphi = \frac{1}{2}$.

Отсюда главный аргумент $\varphi = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Тригонометрическая форма: $z = 2(\cos(\frac{5\pi}{6}) + i \sin(\frac{5\pi}{6}))$.

Показательная форма: $z = 2e^{i\frac{5\pi}{6}}$.

Ответ: $z = 2(\cos(\frac{5\pi}{6}) + i \sin(\frac{5\pi}{6})) = 2e^{i\frac{5\pi}{6}}$.

г) $z = -\sqrt{3} - i$

Действительная часть $x = -\sqrt{3}$, мнимая часть $y = -1$.

Найдем модуль комплексного числа:

$r = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем аргумент. Так как $x = -\sqrt{3} < 0$ и $y = -1 < 0$, точка, соответствующая числу $z$, лежит в третьей координатной четверти.

$\cos \varphi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \varphi = -\frac{1}{2}$.

Отсюда главный аргумент $\varphi = -\pi + \frac{\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6}$.

Тригонометрическая форма: $z = 2(\cos(-\frac{5\pi}{6}) + i \sin(-\frac{5\pi}{6}))$.

Показательная форма: $z = 2e^{-i\frac{5\pi}{6}}$.

Ответ: $z = 2(\cos(-\frac{5\pi}{6}) + i \sin(-\frac{5\pi}{6})) = 2e^{-i\frac{5\pi}{6}}$.

д) $z = 1 + \sqrt{3}i$

Действительная часть $x = 1$, мнимая часть $y = \sqrt{3}$.

Найдем модуль комплексного числа:

$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем аргумент. Так как $x = 1 > 0$ и $y = \sqrt{3} > 0$, точка, соответствующая числу $z$, лежит в первой координатной четверти.

$\cos \varphi = \frac{1}{2}$, $\sin \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Отсюда главный аргумент $\varphi = \frac{\pi}{3}$.

Тригонометрическая форма: $z = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{3}))$.

Показательная форма: $z = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$.

Ответ: $z = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{3})) = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$.

е) $z = 1 - \sqrt{3}i$

Действительная часть $x = 1$, мнимая часть $y = -\sqrt{3}$.

Найдем модуль комплексного числа:

$r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем аргумент. Так как $x = 1 > 0$ и $y = -\sqrt{3} < 0$, точка, соответствующая числу $z$, лежит в четвертой координатной четверти.

$\cos \varphi = \frac{1}{2}$, $\sin \varphi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Отсюда главный аргумент $\varphi = -\frac{\pi}{3}$.

Тригонометрическая форма: $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3}))$.

Показательная форма: $z = 2e^{-i\frac{\pi}{3}}$.

Ответ: $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3})) = 2e^{-i\frac{\pi}{3}}$.