Номер 17.5, страница 394 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 17.5, страница 394.
№17.5 (с. 394)
Условие. №17.5 (с. 394)
скриншот условия

17.5 a) $z = \sqrt{3} + i$;
б) $z = \sqrt{3} - i$;
в) $z = -\sqrt{3} + i$;
г) $z = -\sqrt{3} - i$;
д) $z = 1 + \sqrt{3}i$;
e) $z = 1 - \sqrt{3}i$.
Решение 1. №17.5 (с. 394)






Решение 2. №17.5 (с. 394)



Решение 3. №17.5 (с. 394)

Решение 4. №17.5 (с. 394)
Для представления комплексного числа $z = x + yi$ в тригонометрической форме $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$ и показательной форме $z = re^{i\varphi}$, необходимо найти его модуль $r$ и аргумент $\varphi$.
Модуль вычисляется по формуле: $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
Аргумент $\varphi$ находится из системы уравнений: $\cos \varphi = \frac{x}{r}$, $\sin \varphi = \frac{y}{r}$.
а) $z = \sqrt{3} + i$
Действительная часть $x = \sqrt{3}$, мнимая часть $y = 1$.
Найдем модуль комплексного числа:
$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
Найдем аргумент. Так как $x = \sqrt{3} > 0$ и $y = 1 > 0$, точка, соответствующая числу $z$, лежит в первой координатной четверти.
$\cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \varphi = \frac{1}{2}$.
Отсюда главный аргумент $\varphi = \frac{\pi}{6}$.
Тригонометрическая форма: $z = 2(\cos(\frac{\pi}{6}) + i \sin(\frac{\pi}{6}))$.
Показательная форма: $z = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$.
Ответ: $z = 2(\cos(\frac{\pi}{6}) + i \sin(\frac{\pi}{6})) = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$.
б) $z = \sqrt{3} - i$
Действительная часть $x = \sqrt{3}$, мнимая часть $y = -1$.
Найдем модуль комплексного числа:
$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
Найдем аргумент. Так как $x = \sqrt{3} > 0$ и $y = -1 < 0$, точка, соответствующая числу $z$, лежит в четвертой координатной четверти.
$\cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \varphi = -\frac{1}{2}$.
Отсюда главный аргумент $\varphi = -\frac{\pi}{6}$.
Тригонометрическая форма: $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6}))$.
Показательная форма: $z = 2e^{-i\frac{\pi}{6}}$.
Ответ: $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6})) = 2e^{-i\frac{\pi}{6}}$.
в) $z = -\sqrt{3} + i$
Действительная часть $x = -\sqrt{3}$, мнимая часть $y = 1$.
Найдем модуль комплексного числа:
$r = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
Найдем аргумент. Так как $x = -\sqrt{3} < 0$ и $y = 1 > 0$, точка, соответствующая числу $z$, лежит во второй координатной четверти.
$\cos \varphi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \varphi = \frac{1}{2}$.
Отсюда главный аргумент $\varphi = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Тригонометрическая форма: $z = 2(\cos(\frac{5\pi}{6}) + i \sin(\frac{5\pi}{6}))$.
Показательная форма: $z = 2e^{i\frac{5\pi}{6}}$.
Ответ: $z = 2(\cos(\frac{5\pi}{6}) + i \sin(\frac{5\pi}{6})) = 2e^{i\frac{5\pi}{6}}$.
г) $z = -\sqrt{3} - i$
Действительная часть $x = -\sqrt{3}$, мнимая часть $y = -1$.
Найдем модуль комплексного числа:
$r = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
Найдем аргумент. Так как $x = -\sqrt{3} < 0$ и $y = -1 < 0$, точка, соответствующая числу $z$, лежит в третьей координатной четверти.
$\cos \varphi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \varphi = -\frac{1}{2}$.
Отсюда главный аргумент $\varphi = -\pi + \frac{\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6}$.
Тригонометрическая форма: $z = 2(\cos(-\frac{5\pi}{6}) + i \sin(-\frac{5\pi}{6}))$.
Показательная форма: $z = 2e^{-i\frac{5\pi}{6}}$.
Ответ: $z = 2(\cos(-\frac{5\pi}{6}) + i \sin(-\frac{5\pi}{6})) = 2e^{-i\frac{5\pi}{6}}$.
д) $z = 1 + \sqrt{3}i$
Действительная часть $x = 1$, мнимая часть $y = \sqrt{3}$.
Найдем модуль комплексного числа:
$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.
Найдем аргумент. Так как $x = 1 > 0$ и $y = \sqrt{3} > 0$, точка, соответствующая числу $z$, лежит в первой координатной четверти.
$\cos \varphi = \frac{1}{2}$, $\sin \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Отсюда главный аргумент $\varphi = \frac{\pi}{3}$.
Тригонометрическая форма: $z = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{3}))$.
Показательная форма: $z = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$.
Ответ: $z = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{3})) = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$.
е) $z = 1 - \sqrt{3}i$
Действительная часть $x = 1$, мнимая часть $y = -\sqrt{3}$.
Найдем модуль комплексного числа:
$r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.
Найдем аргумент. Так как $x = 1 > 0$ и $y = -\sqrt{3} < 0$, точка, соответствующая числу $z$, лежит в четвертой координатной четверти.
$\cos \varphi = \frac{1}{2}$, $\sin \varphi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Отсюда главный аргумент $\varphi = -\frac{\pi}{3}$.
Тригонометрическая форма: $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3}))$.
Показательная форма: $z = 2e^{-i\frac{\pi}{3}}$.
Ответ: $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3})) = 2e^{-i\frac{\pi}{3}}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 17.5 расположенного на странице 394 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №17.5 (с. 394), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.