Номер 16.50, страница 390 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 16.50, страница 390.

Условие.

16.50 a) $\frac{|z+1|}{|z-2|} \ge 0,5$;

б) $\frac{|z+2i|}{|z-i|} \ge 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дано неравенство $\frac{|z+1|}{|z-2|} \ge 0,5$.

Это неравенство определено для всех комплексных чисел $z$, для которых знаменатель не равен нулю, то есть $z-2 \neq 0$, откуда $z \neq 2$.

Представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$. Модуль комплексного числа $|a+bi|$ равен $\sqrt{a^2+b^2}$. Тогда:
$|z+1| = |(x+1)+iy| = \sqrt{(x+1)^2+y^2}$
$|z-2| = |(x-2)+iy| = \sqrt{(x-2)^2+y^2}$

Подставим эти выражения в исходное неравенство:
$\frac{\sqrt{(x+1)^2+y^2}}{\sqrt{(x-2)^2+y^2}} \ge 0,5$

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:
$\frac{(x+1)^2+y^2}{(x-2)^2+y^2} \ge 0,5^2 = 0,25$

Умножим обе части на знаменатель $(x-2)^2+y^2$. Так как $z \neq 2$, знаменатель строго больше нуля, поэтому знак неравенства сохраняется:
$(x+1)^2+y^2 \ge 0,25((x-2)^2+y^2)$

Раскроем скобки и преобразуем выражение:
$x^2+2x+1+y^2 \ge 0,25(x^2-4x+4+y^2)$
$x^2+2x+1+y^2 \ge 0,25x^2-x+1+0,25y^2$
$0,75x^2+3x+0,75y^2 \ge 0$

Разделим обе части на $0,75$:
$x^2+4x+y^2 \ge 0$

Выделим полный квадрат для переменной $x$:
$(x^2+4x+4) - 4 + y^2 \ge 0$
$(x+2)^2+y^2 \ge 4$
$(x+2)^2+y^2 \ge 2^2$

Это неравенство описывает множество точек на комплексной плоскости, которые лежат на окружности с центром в точке $(-2, 0)$ и радиусом $R=2$ или вне этой окружности. Центру окружности соответствует комплексное число $z_0 = -2$. Необходимо учесть первоначальное условие $z \neq 2$. Точка $z=2$ (координаты $(2,0)$) удовлетворяет полученному неравенству, так как $(2+2)^2+0^2=16 \ge 4$. Следовательно, эту точку необходимо исключить из множества решений.

Ответ: Множество точек, лежащих на окружности $|z+2|=2$ и вне ее, за исключением точки $z=2$. Геометрически это внешность круга с центром в точке $z_0=-2$ и радиусом $R=2$, включая его границу, с выколотой точкой $z=2$.

б)

Дано неравенство $\frac{|z+2i|}{|z-i|} \ge 2$.

Неравенство имеет смысл при $z-i \neq 0$, то есть $z \neq i$.

Пусть $z=x+iy$. Тогда:
$|z+2i| = |x+i(y+2)| = \sqrt{x^2+(y+2)^2}$
$|z-i| = |x+i(y-1)| = \sqrt{x^2+(y-1)^2}$

Подставим эти выражения в неравенство и, так как обе части неотрицательны, возведем в квадрат:
$\frac{x^2+(y+2)^2}{x^2+(y-1)^2} \ge 2^2 = 4$

Умножим на знаменатель, который строго положителен при $z \neq i$:
$x^2+(y+2)^2 \ge 4(x^2+(y-1)^2)$

Раскроем скобки и упростим:
$x^2+y^2+4y+4 \ge 4(x^2+y^2-2y+1)$
$x^2+y^2+4y+4 \ge 4x^2+4y^2-8y+4$
$0 \ge 3x^2+3y^2-12y$

Разделим обе части на 3:
$0 \ge x^2+y^2-4y$
$x^2+y^2-4y \le 0$

Выделим полный квадрат для переменной $y$:
$x^2+(y^2-4y+4)-4 \le 0$
$x^2+(y-2)^2 \le 4$
$x^2+(y-2)^2 \le 2^2$

Это неравенство описывает замкнутый круг с центром в точке $(0, 2)$ и радиусом $R=2$. Центру круга соответствует комплексное число $z_0=2i$. Вспомним об ограничении $z \neq i$. Точка $z=i$ (координаты $(0,1)$) удовлетворяет полученному неравенству, так как $0^2+(1-2)^2=1 \le 4$. Значит, эта точка лежит внутри круга и должна быть исключена из решения.

Ответ: Множество точек, лежащих на окружности $|z-2i|=2$ и внутри нее, за исключением точки $z=i$. Геометрически это замкнутый круг с центром в точке $z_0=2i$ и радиусом $R=2$, из которого выколота точка $z=i$.