Номер 16.52, страница 390 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 16.52, страница 390.

Условие.

16.52 a) $z(-3 + 2i) = 5 - 55i;$

б) $-7 + 1,5i = z(5 - 4i).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дано уравнение $z(-3 + 2i) = 5 - 55i$.

Для того чтобы найти комплексное число $z$, необходимо разделить правую часть уравнения на множитель при $z$:

$z = \frac{5 - 55i}{-3 + 2i}$

Чтобы выполнить деление, умножим числитель и знаменатель дроби на комплексное число, сопряженное знаменателю. Комплексно сопряженным к числу $(-3 + 2i)$ является число $(-3 - 2i)$.

$z = \frac{(5 - 55i)(-3 - 2i)}{(-3 + 2i)(-3 - 2i)}$

Сначала вычислим знаменатель. Произведение комплексно сопряженных чисел равно сумме квадратов их действительной и мнимой частей:

$(-3 + 2i)(-3 - 2i) = (-3)^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$

Теперь вычислим числитель, перемножая скобки:

$(5 - 55i)(-3 - 2i) = 5 \cdot (-3) + 5 \cdot (-2i) - 55i \cdot (-3) - 55i \cdot (-2i)$

$= -15 - 10i + 165i + 110i^2$

По определению мнимой единицы $i^2 = -1$. Подставим это значение в выражение:

$= -15 + 155i + 110(-1) = -15 - 110 + 155i = -125 + 155i$

Теперь подставим полученные значения числителя и знаменателя в выражение для $z$:

$z = \frac{-125 + 155i}{13}$

Разделим действительную и мнимую части на 13:

$z = -\frac{125}{13} + \frac{155}{13}i$

Ответ: $z = -\frac{125}{13} + \frac{155}{13}i$.

б)

Дано уравнение $-7 + 1.5i = z(5 - 4i)$.

Для того чтобы найти $z$, необходимо разделить левую часть уравнения на множитель при $z$:

$z = \frac{-7 + 1.5i}{5 - 4i}$

Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю. Комплексно сопряженным к числу $(5 - 4i)$ является число $(5 + 4i)$.

$z = \frac{(-7 + 1.5i)(5 + 4i)}{(5 - 4i)(5 + 4i)}$

Вычислим знаменатель:

$(5 - 4i)(5 + 4i) = 5^2 + 4^2 = 25 + 16 = 41$

Вычислим числитель:

$(-7 + 1.5i)(5 + 4i) = -7 \cdot 5 - 7 \cdot 4i + 1.5i \cdot 5 + 1.5i \cdot 4i$

$= -35 - 28i + 7.5i + 6i^2$

Так как $i^2 = -1$, получаем:

$= -35 - 28i + 7.5i - 6 = (-35 - 6) + (-28 + 7.5)i = -41 - 20.5i$

Теперь найдем $z$:

$z = \frac{-41 - 20.5i}{41}$

Разделим действительную и мнимую части на 41:

$z = \frac{-41}{41} - \frac{20.5}{41}i = -1 - 0.5i$

Ответ: $z = -1 - 0.5i$.