Страница 395 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

17.7 Выполните умножение комплексных чисел:

a) $ \left( \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} \right) \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right); $

б) $ 3 \left( \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} \right) \cdot 2 \left( \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} \right); $

в) $ 2 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) \cdot 4 \left( \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} \right); $

г) $ 3 \left( \cos \frac{7\pi}{6} + i \sin \frac{7\pi}{6} \right) \cdot 7 \left( \cos \frac{7\pi}{12} + i \sin \frac{7\pi}{12} \right). $

Для умножения комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме $z_1 = r_1(\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1)$ и $z_2 = r_2(\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)$, используется формула Муавра:

$z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2))$

Согласно этой формуле, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

а) $(\cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3})(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})$

В данном случае модули обоих чисел равны 1 ($r_1=1, r_2=1$), а аргументы $\varphi_1 = \frac{5\pi}{3}$ и $\varphi_2 = \frac{\pi}{3}$.

Выполняем умножение:

$1 \cdot 1 \cdot (\cos(\frac{5\pi}{3} + \frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{5\pi}{3} + \frac{\pi}{3})) = \cos(\frac{6\pi}{3}) + i \sin(\frac{6\pi}{3}) = \cos(2\pi) + i \sin(2\pi)$.

Вычисляем значения тригонометрических функций:

$\cos(2\pi) = 1$

$\sin(2\pi) = 0$

Таким образом, результат равен $1 + i \cdot 0 = 1$.

Ответ: $1$.

б) $3(\cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4}) \cdot 2(\cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4})$

Модули чисел: $r_1=3$, $r_2=2$. Аргументы: $\varphi_1 = \frac{5\pi}{4}$, $\varphi_2 = \frac{7\pi}{4}$.

Перемножаем модули и складываем аргументы:

$3 \cdot 2 \cdot (\cos(\frac{5\pi}{4} + \frac{7\pi}{4}) + i \sin(\frac{5\pi}{4} + \frac{7\pi}{4})) = 6(\cos(\frac{12\pi}{4}) + i \sin(\frac{12\pi}{4})) = 6(\cos(3\pi) + i \sin(3\pi))$.

Вычисляем значения тригонометрических функций (учитывая, что $3\pi$ это то же самое, что и $\pi$ на единичной окружности):

$\cos(3\pi) = \cos(\pi) = -1$

$\sin(3\pi) = \sin(\pi) = 0$

Результат: $6(-1 + i \cdot 0) = -6$.

Ответ: $-6$.

в) $2(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}) \cdot 4(\cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4})$

Модули чисел: $r_1=2$, $r_2=4$. Аргументы: $\varphi_1 = \frac{2\pi}{3}$, $\varphi_2 = \frac{5\pi}{4}$.

Перемножаем модули и складываем аргументы:

$2 \cdot 4 \cdot (\cos(\frac{2\pi}{3} + \frac{5\pi}{4}) + i \sin(\frac{2\pi}{3} + \frac{5\pi}{4}))$.

Найдем сумму аргументов, приведя дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{2\pi}{3} + \frac{5\pi}{4} = \frac{8\pi}{12} + \frac{15\pi}{12} = \frac{23\pi}{12}$.

Произведение равно $8(\cos(\frac{23\pi}{12}) + i \sin(\frac{23\pi}{12}))$.

Так как угол $\frac{23\pi}{12}$ не является стандартным табличным значением, ответ принято оставлять в тригонометрической форме.

Ответ: $8(\cos \frac{23\pi}{12} + i \sin \frac{23\pi}{12})$.

г) $3(\cos \frac{7\pi}{6} + i \sin \frac{7\pi}{6}) \cdot 7(\cos \frac{7\pi}{12} + i \sin \frac{7\pi}{12})$

Модули чисел: $r_1=3$, $r_2=7$. Аргументы: $\varphi_1 = \frac{7\pi}{6}$, $\varphi_2 = \frac{7\pi}{12}$.

Перемножаем модули и складываем аргументы:

$3 \cdot 7 \cdot (\cos(\frac{7\pi}{6} + \frac{7\pi}{12}) + i \sin(\frac{7\pi}{6} + \frac{7\pi}{12}))$.

Найдем сумму аргументов:

$\frac{7\pi}{6} + \frac{7\pi}{12} = \frac{14\pi}{12} + \frac{7\pi}{12} = \frac{21\pi}{12} = \frac{7\pi}{4}$.

Произведение равно $21(\cos(\frac{7\pi}{4}) + i \sin(\frac{7\pi}{4}))$.

Вычисляем значения тригонометрических функций для угла $\frac{7\pi}{4}$:

$\cos(\frac{7\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(\frac{7\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставляем значения и получаем ответ в алгебраической форме:

$21(\frac{\sqrt{2}}{2} + i(-\frac{\sqrt{2}}{2})) = \frac{21\sqrt{2}}{2} - i\frac{21\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{21\sqrt{2}}{2} - i\frac{21\sqrt{2}}{2}$.

17.8 Докажите теорему 1Б о частном комплексных чисел.

Теорема 16б о частном комплексных чисел утверждает, что для любых двух комплексных чисел $z_1 = a + bi$ и $z_2 = c + di$, где $z_2 \neq 0$, их частное $\frac{z_1}{z_2}$ существует, единственно и вычисляется по определенной формуле. Докажем эту теорему.

По определению, частным двух комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ называется такое комплексное число $z$, что $z \cdot z_2 = z_1$. Наша задача — найти это число $z$.

Запишем частное в виде дроби:

$z = \frac{z_1}{z_2} = \frac{a+bi}{c+di}$

Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, то есть на $\bar{z_2} = c - di$. Так как $z_2 \neq 0$, то $c$ и $d$ не равны нулю одновременно, а значит и $\bar{z_2} \neq 0$. Данное преобразование является тождественным, так как мы умножаем дробь на 1.

$z = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}$

Раскроем скобки в числителе, используя правило умножения комплексных чисел:

$(a+bi)(c-di) = ac - adi + bci - bdi^2 = ac - adi + bci - bd(-1) = (ac+bd) + (bc-ad)i$

Теперь раскроем скобки в знаменателе. Произведение комплексно-сопряженных чисел равно квадрату модуля этого числа, что является действительным числом:

$(c+di)(c-di) = c^2 - (di)^2 = c^2 - d^2i^2 = c^2 - d^2(-1) = c^2+d^2$

Поскольку $z_2 \neq 0$ (то есть $c$ и $d$ не равны нулю одновременно), знаменатель $c^2+d^2$ является строго положительным действительным числом.

Подставим полученные выражения для числителя и знаменателя обратно в дробь:

$z = \frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2+d^2}$

Разделив действительную и мнимую части на действительный знаменатель, получим алгебраическую форму искомого комплексного числа $z$:

$z = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + i \frac{bc-ad}{c^2+d^2}$

Мы конструктивно доказали существование частного $z$ и вывели формулу для его нахождения. Единственность частного следует из того, что если бы существовало другое число $z'$ такое, что $z' \cdot z_2 = z_1$, то $z \cdot z_2 = z' \cdot z_2$, и, умножив обе части на обратное к $z_2$ число, мы бы получили $z=z'$. Таким образом, теорема доказана.

Ответ: Теорема доказана путем умножения числителя и знаменателя дроби $\frac{a+bi}{c+di}$ на число, сопряженное знаменателю ($c-di$), что однозначно определяет частное и приводит к формуле: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + i \frac{bc-ad}{c^2+d^2}$.

Найдите $arg \ z$, если (17.9–17.10):

17.9 а) $z = 1$;

б) $z = -1$;

в) $z = i$;

г) $z = -i$;

д) $z = 1 + i$;

е) $z = 1 - i$;

ж) $z = -1 + i$;

з) $z = -1 - i$.

Аргумент комплексного числа $z = x + iy$ — это угол $\phi$, который образует радиус-вектор точки $(x, y)$ с положительным направлением оси $Ox$ на комплексной плоскости. Аргумент обозначается как $\arg z$. Обычно находят главное значение аргумента, которое выбирается из интервала $(-\pi, \pi]$. Для нахождения аргумента $\phi$ можно использовать формулу $\tan \phi = \frac{y}{x}$ с учетом четверти, в которой находится точка, или найти угол $\phi$ из системы уравнений:$\cos \phi = \frac{x}{|z|}$ и $\sin \phi = \frac{y}{|z|}$,где $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ — модуль комплексного числа.

а) Для комплексного числа $z = 1$, действительная часть $x=1$, а мнимая часть $y=0$. Модуль $|z| = \sqrt{1^2+0^2} = 1$. Находим аргумент $\phi$ из условий $\cos \phi = \frac{x}{|z|} = \frac{1}{1} = 1$ и $\sin \phi = \frac{y}{|z|} = \frac{0}{1} = 0$. Единственным углом в интервале $(-\pi, \pi]$, удовлетворяющим этим условиям, является $\phi = 0$.
Ответ: $\arg z = 0$.

б) Для комплексного числа $z = -1$, действительная часть $x=-1$, а мнимая часть $y=0$. Модуль $|z| = \sqrt{(-1)^2+0^2} = 1$. Находим аргумент $\phi$ из условий $\cos \phi = \frac{x}{|z|} = \frac{-1}{1} = -1$ и $\sin \phi = \frac{y}{|z|} = \frac{0}{1} = 0$. Единственным углом в интервале $(-\pi, \pi]$, удовлетворяющим этим условиям, является $\phi = \pi$.
Ответ: $\arg z = \pi$.

в) Для комплексного числа $z = i$, действительная часть $x=0$, а мнимая часть $y=1$. Модуль $|z| = \sqrt{0^2+1^2} = 1$. Находим аргумент $\phi$ из условий $\cos \phi = \frac{x}{|z|} = \frac{0}{1} = 0$ и $\sin \phi = \frac{y}{|z|} = \frac{1}{1} = 1$. Единственным углом в интервале $(-\pi, \pi]$, удовлетворяющим этим условиям, является $\phi = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\arg z = \frac{\pi}{2}$.

г) Для комплексного числа $z = -i$, действительная часть $x=0$, а мнимая часть $y=-1$. Модуль $|z| = \sqrt{0^2+(-1)^2} = 1$. Находим аргумент $\phi$ из условий $\cos \phi = \frac{x}{|z|} = \frac{0}{1} = 0$ и $\sin \phi = \frac{y}{|z|} = \frac{-1}{1} = -1$. Единственным углом в интервале $(-\pi, \pi]$, удовлетворяющим этим условиям, является $\phi = -\frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\arg z = -\frac{\pi}{2}$.

д) Для комплексного числа $z = 1 + i$, имеем $x=1$ и $y=1$. Точка $(1, 1)$ находится в первой координатной четверти. Модуль числа $|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Аргумент $\phi$ можно найти из системы:$\cos \phi = \frac{x}{|z|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$\sin \phi = \frac{y}{|z|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$Единственный угол в интервале $(-\pi, \pi]$, удовлетворяющий этим условиям, это $\phi = \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\arg z = \frac{\pi}{4}$.

е) Для комплексного числа $z = 1 - i$, имеем $x=1$ и $y=-1$. Точка $(1, -1)$ находится в четвертой координатной четверти. Модуль числа $|z| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$. Аргумент $\phi$ можно найти из системы:$\cos \phi = \frac{x}{|z|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$\sin \phi = \frac{y}{|z|} = \frac{-1}{\sqrt{2}}$Единственный угол в интервале $(-\pi, \pi]$, удовлетворяющий этим условиям, это $\phi = -\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\arg z = -\frac{\pi}{4}$.

ж) Для комплексного числа $z = -1 + i$, имеем $x=-1$ и $y=1$. Точка $(-1, 1)$ находится во второй координатной четверти. Модуль числа $|z| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Аргумент $\phi$ можно найти из системы:$\cos \phi = \frac{x}{|z|} = \frac{-1}{\sqrt{2}}$$\sin \phi = \frac{y}{|z|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$Единственный угол в интервале $(-\pi, \pi]$, удовлетворяющий этим условиям, это $\phi = \frac{3\pi}{4}$.
Ответ: $\arg z = \frac{3\pi}{4}$.

з) Для комплексного числа $z = -1 - i$, имеем $x=-1$ и $y=-1$. Точка $(-1, -1)$ находится в третьей координатной четверти. Модуль числа $|z| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$. Аргумент $\phi$ можно найти из системы:$\cos \phi = \frac{x}{|z|} = \frac{-1}{\sqrt{2}}$$\sin \phi = \frac{y}{|z|} = \frac{-1}{\sqrt{2}}$Единственный угол в интервале $(-\pi, \pi]$, удовлетворяющий этим условиям, это $\phi = -\frac{3\pi}{4}$.
Ответ: $\arg z = -\frac{3\pi}{4}$.

17.10 a) $z = \sqrt{3} + i;$

б) $z = \sqrt{3} - i;$

в) $z = -\sqrt{3} + i;$

г) $z = -\sqrt{3} - i;$

д) $z = 1 + \sqrt{3}i;$

е) $z = 1 - \sqrt{3}i.$

Для представления комплексного числа $z = x + iy$ в тригонометрической форме $z = r(\cos\phi + i\sin\phi)$, необходимо найти его модуль $r$ и аргумент $\phi$. Модуль вычисляется по формуле $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Аргумент $\phi$ (обычно в пределах от $-\pi$ до $\pi$) находится из системы уравнений $\cos\phi = \frac{x}{r}$ и $\sin\phi = \frac{y}{r}$, с учетом четверти, в которой расположено число на комплексной плоскости.

а) $z = \sqrt{3} + i$

Здесь действительная часть $x = \sqrt{3}$, мнимая часть $y = 1$.Вычисляем модуль числа: $r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.Находим аргумент $\phi$: $\cos\phi = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\phi = \frac{1}{2}$.Так как $x > 0$ и $y > 0$, точка находится в I четверти, следовательно, $\phi = \frac{\pi}{6}$.Тригонометрическая форма числа: $z = 2(\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}))$.

Ответ: $z = 2(\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}))$.

б) $z = \sqrt{3} - i$

Здесь действительная часть $x = \sqrt{3}$, мнимая часть $y = -1$.Вычисляем модуль числа: $r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.Находим аргумент $\phi$: $\cos\phi = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\phi = \frac{-1}{2}$.Так как $x > 0$ и $y < 0$, точка находится в IV четверти, следовательно, $\phi = -\frac{\pi}{6}$.Тригонометрическая форма числа: $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))$.

Ответ: $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))$.

в) $z = -\sqrt{3} + i$

Здесь действительная часть $x = -\sqrt{3}$, мнимая часть $y = 1$.Вычисляем модуль числа: $r = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.Находим аргумент $\phi$: $\cos\phi = \frac{-\sqrt{3}}{2}$, $\sin\phi = \frac{1}{2}$.Так как $x < 0$ и $y > 0$, точка находится во II четверти, следовательно, $\phi = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.Тригонометрическая форма числа: $z = 2(\cos(\frac{5\pi}{6}) + i\sin(\frac{5\pi}{6}))$.

Ответ: $z = 2(\cos(\frac{5\pi}{6}) + i\sin(\frac{5\pi}{6}))$.

г) $z = -\sqrt{3} - i$

Здесь действительная часть $x = -\sqrt{3}$, мнимая часть $y = -1$.Вычисляем модуль числа: $r = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.Находим аргумент $\phi$: $\cos\phi = \frac{-\sqrt{3}}{2}$, $\sin\phi = \frac{-1}{2}$.Так как $x < 0$ и $y < 0$, точка находится в III четверти, следовательно, $\phi = -\pi + \frac{\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6}$.Тригонометрическая форма числа: $z = 2(\cos(-\frac{5\pi}{6}) + i\sin(-\frac{5\pi}{6}))$.

Ответ: $z = 2(\cos(-\frac{5\pi}{6}) + i\sin(-\frac{5\pi}{6}))$.

д) $z = 1 + i\sqrt{3}$

Здесь действительная часть $x = 1$, мнимая часть $y = \sqrt{3}$.Вычисляем модуль числа: $r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.Находим аргумент $\phi$: $\cos\phi = \frac{1}{2}$, $\sin\phi = \frac{\sqrt{3}}{2}$.Так как $x > 0$ и $y > 0$, точка находится в I четверти, следовательно, $\phi = \frac{\pi}{3}$.Тригонометрическая форма числа: $z = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))$.

Ответ: $z = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))$.

е) $z = 1 - i\sqrt{3}$

Здесь действительная часть $x = 1$, мнимая часть $y = -\sqrt{3}$.Вычисляем модуль числа: $r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.Находим аргумент $\phi$: $\cos\phi = \frac{1}{2}$, $\sin\phi = \frac{-\sqrt{3}}{2}$.Так как $x > 0$ и $y < 0$, точка находится в IV четверти, следовательно, $\phi = -\frac{\pi}{3}$.Тригонометрическая форма числа: $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))$.

Ответ: $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))$.

17.11 Найдите множество точек $z$ комплексной плоскости, удовлетворяющих условию:

а) $0 \le \arg z \le \frac{\pi}{4}$;

б) $\frac{\pi}{4} < \arg z < \frac{\pi}{2}$;

в) $\arg z \le \pi$;

г) $\arg z > \frac{3\pi}{2}$.

а) Аргумент комплексного числа $z$, обозначаемый как $\arg z$, представляет собой угол в радианах между положительным направлением действительной оси и вектором, соединяющим начало координат с точкой $z$ на комплексной плоскости. Условие $0 \le \arg z \le \frac{\pi}{4}$ задает множество точек, для которых этот угол находится в пределах от $0$ до $\frac{\pi}{4}$ включительно. Луч, соответствующий углу $\arg z = 0$, — это положительная действительная полуось ($y=0, x \ge 0$). Луч, соответствующий углу $\arg z = \frac{\pi}{4}$ (что равно $45^\circ$), — это луч, выходящий из начала координат под углом $45^\circ$ к положительной действительной оси, с уравнением $y=x$ при $x \ge 0$. Поскольку неравенства нестрогие, искомое множество включает в себя оба этих луча, а также всю область между ними. Это замкнутый угловой сектор. Точка $z=0$ (начало координат) исключается, так как ее аргумент не определен.
Ответ: Множество точек — это замкнутый угловой сектор в первой координатной четверти, ограниченный положительной действительной полуосью и лучом $y=x$ ($x \ge 0$), включая эти лучи, но за исключением начала координат.

б) Условие $\frac{\pi}{4} < \arg z < \frac{\pi}{2}$ задает множество точек, аргумент которых строго больше $\frac{\pi}{4}$ и строго меньше $\frac{\pi}{2}$. Луч, соответствующий углу $\arg z = \frac{\pi}{4}$, — это луч $y=x$ при $x > 0$. Луч, соответствующий углу $\arg z = \frac{\pi}{2}$, — это положительная мнимая полуось ($x=0, y > 0$). Так как неравенства строгие, граничные лучи не входят в искомое множество. Таким образом, мы получаем открытый угловой сектор. Начало координат $z=0$ также исключается.
Ответ: Множество точек — это открытый угловой сектор в первой координатной четверти, заключенный между лучами $y=x$ ($x > 0$) и положительной мнимой полуосью. Граничные лучи и начало координат не входят в множество.

в) Будем считать, что аргумент комплексного числа $\arg z$ принимает значения в диапазоне $[0, 2\pi)$. Тогда условие $\arg z \le \pi$ эквивалентно двойному неравенству $0 \le \arg z \le \pi$. Углу $\arg z = 0$ соответствует положительная действительная полуось, а углу $\arg z = \pi$ — отрицательная действительная полуось. Вместе они образуют всю действительную ось. Углы в интервале $(0, \pi)$ соответствуют точкам, лежащим в верхней полуплоскости ($\text{Im}(z) > 0$). Таким образом, условие $0 \le \arg z \le \pi$ описывает всю верхнюю полуплоскость, включая ее границу — действительную ось. Это множество всех точек $z = x+iy$, для которых мнимая часть $\text{Im}(z) = y \ge 0$. Начало координат $z=0$ исключается.
Ответ: Множество точек — это замкнутая верхняя полуплоскость ($\text{Im}(z) \ge 0$), из которой исключено начало координат $z=0$.

г) Будем считать, что аргумент $\arg z$ принимает значения в диапазоне $[0, 2\pi)$. Тогда условие $\arg z > \frac{3\pi}{2}$ эквивалентно двойному неравенству $\frac{3\pi}{2} < \arg z < 2\pi$. Угол $\arg z = \frac{3\pi}{2}$ (или $270^\circ$) соответствует отрицательной мнимой полуоси ($x=0, y < 0$). Угол $\arg z = 2\pi$ (или $0^\circ$) соответствует положительной действительной полуоси ($y=0, x > 0$). Неравенство является строгим, поэтому граничные лучи не включаются в множество. Область, заключенная между этими лучами, представляет собой четвертую координатную четверть. Это множество всех точек $z=x+iy$, у которых действительная часть $x>0$, а мнимая часть $y<0$.
Ответ: Множество точек — это открытая четвертая координатная четверть, то есть все точки $z=x+iy$, для которых $x>0$ и $y<0$. Граничные полуоси и начало координат не входят в множество.

17.12 Запишите формулу Муавра для возведения любого отличного от нуля комплексного числа $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$ в степень с целым показателем $n$.

Для того чтобы возвести комплексное число $z$, представленное в тригонометрической форме $z = r(\cos \phi + i \sin \phi)$, в целую степень $n$, используется формула Муавра. Здесь $r$ — модуль комплексного числа ($r > 0$), а $\phi$ — его аргумент.

Процесс возведения в степень выглядит следующим образом:
$z^n = [r(\cos \phi + i \sin \phi)]^n$

Используя свойство степени произведения, мы можем возвести в степень $n$ каждый множитель по отдельности:
$z^n = r^n (\cos \phi + i \sin \phi)^n$

Далее применяется непосредственно формула Муавра, которая утверждает, что для любого целого числа $n$ и любого вещественного числа $\phi$ справедливо следующее равенство:
$(\cos \phi + i \sin \phi)^n = \cos(n\phi) + i\sin(n\phi)$

Подставив это соотношение в наше выражение для $z^n$, мы получим общую формулу для возведения комплексного числа в целую степень:
$z^n = r^n (\cos(n\phi) + i\sin(n\phi))$

Это правило можно сформулировать словами: при возведении комплексного числа в тригонометрической форме в степень $n$, его модуль возводится в ту же степень $n$, а его аргумент умножается на показатель степени $n$.

Ответ: Формула Муавра для возведения любого отличного от нуля комплексного числа $z = r(\cos \phi + i \sin \phi)$ в степень с целым показателем $n$ имеет вид: $z^n = r^n(\cos(n\phi) + i\sin(n\phi))$.

17.13 Возведите в степень 3 комплексное число:

a) $\cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3}$;

б) $2 \left(\cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4}\right)$;

в) $3 \left(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}\right)$;

г) $4 \left(\cos \frac{7\pi}{6} + i \sin \frac{7\pi}{6}\right)$.

Для возведения комплексного числа, заданного в тригонометрической форме $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, в степень $n$ используется формула Муавра:

$z^n = [r(\cos \varphi + i \sin \varphi)]^n = r^n(\cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi))$

Применим эту формулу для каждого из заданных чисел, возводя их в степень $n=3$.

а) Дано комплексное число $z = \cos\frac{5\pi}{3} + i \sin\frac{5\pi}{3}$.

Здесь модуль $r=1$, аргумент $\varphi = \frac{5\pi}{3}$.

Возводим в третью степень:

$z^3 = \left(\cos\frac{5\pi}{3} + i \sin\frac{5\pi}{3}\right)^3 = 1^3 \left(\cos\left(3 \cdot \frac{5\pi}{3}\right) + i \sin\left(3 \cdot \frac{5\pi}{3}\right)\right)$

$z^3 = \cos(5\pi) + i \sin(5\pi)$

Так как $5\pi = \pi + 2 \cdot 2\pi$, то $\cos(5\pi) = \cos(\pi) = -1$ и $\sin(5\pi) = \sin(\pi) = 0$.

В результате получаем: $z^3 = -1 + i \cdot 0 = -1$.

Ответ: $-1$.

б) Дано комплексное число $z = 2\left(\cos\frac{5\pi}{4} + i \sin\frac{5\pi}{4}\right)$.

Здесь модуль $r=2$, аргумент $\varphi = \frac{5\pi}{4}$.

Возводим в третью степень:

$z^3 = \left[2\left(\cos\frac{5\pi}{4} + i \sin\frac{5\pi}{4}\right)\right]^3 = 2^3 \left(\cos\left(3 \cdot \frac{5\pi}{4}\right) + i \sin\left(3 \cdot \frac{5\pi}{4}\right)\right)$

$z^3 = 8\left(\cos\frac{15\pi}{4} + i \sin\frac{15\pi}{4}\right)$

Упростим аргумент: $\frac{15\pi}{4} = \frac{16\pi - \pi}{4} = 4\pi - \frac{\pi}{4}$. Этот угол эквивалентен углу $-\frac{\pi}{4}$.

$\cos\left(\frac{15\pi}{4}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin\left(\frac{15\pi}{4}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставляем значения: $z^3 = 8\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 4\sqrt{2} - 4\sqrt{2}i$.

Ответ: $4\sqrt{2} - 4\sqrt{2}i$.

в) Дано комплексное число $z = 3\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i \sin\frac{2\pi}{3}\right)$.

Здесь модуль $r=3$, аргумент $\varphi = \frac{2\pi}{3}$.

Возводим в третью степень:

$z^3 = \left[3\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i \sin\frac{2\pi}{3}\right)\right]^3 = 3^3 \left(\cos\left(3 \cdot \frac{2\pi}{3}\right) + i \sin\left(3 \cdot \frac{2\pi}{3}\right)\right)$

$z^3 = 27(\cos(2\pi) + i \sin(2\pi))$

$\cos(2\pi) = 1$ и $\sin(2\pi) = 0$.

В результате получаем: $z^3 = 27(1 + i \cdot 0) = 27$.

Ответ: $27$.

г) Дано комплексное число $z = 4\left(\cos\frac{7\pi}{6} + i \sin\frac{7\pi}{6}\right)$.

Здесь модуль $r=4$, аргумент $\varphi = \frac{7\pi}{6}$.

Возводим в третью степень:

$z^3 = \left[4\left(\cos\frac{7\pi}{6} + i \sin\frac{7\pi}{6}\right)\right]^3 = 4^3 \left(\cos\left(3 \cdot \frac{7\pi}{6}\right) + i \sin\left(3 \cdot \frac{7\pi}{6}\right)\right)$

$z^3 = 64\left(\cos\frac{21\pi}{6} + i \sin\frac{21\pi}{6}\right) = 64\left(\cos\frac{7\pi}{2} + i \sin\frac{7\pi}{2}\right)$

Упростим аргумент: $\frac{7\pi}{2} = \frac{4\pi + 3\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{2}$. Этот угол эквивалентен углу $\frac{3\pi}{2}$.

$\cos\left(\frac{7\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$

$\sin\left(\frac{7\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$

Подставляем значения: $z^3 = 64(0 + i(-1)) = -64i$.

Ответ: $-64i$.

17.14 Возведите в степень с показателем $n = 1, 2, 3, 4, 5$ данное комплексное число $z$ и найдите на комплексной плоскости точки, соответствующие полученным числам:

а) $z=1$;

б) $z=-1$;

в) $z=i$;

г) $z=-i$;

д) $z=1+i$;

е) $z=1-i$;

ж) $z=-1+i$;

з) $z=-1-i$.

а) Для комплексного числа $z = 1$:

$z^1 = 1^1 = 1$. Точка на комплексной плоскости: $(1, 0)$.

$z^2 = 1^2 = 1$. Точка на комплексной плоскости: $(1, 0)$.

$z^3 = 1^3 = 1$. Точка на комплексной плоскости: $(1, 0)$.

$z^4 = 1^4 = 1$. Точка на комплексной плоскости: $(1, 0)$.

$z^5 = 1^5 = 1$. Точка на комплексной плоскости: $(1, 0)$.

Все степени числа $z=1$ равны 1. На комплексной плоскости все они соответствуют одной и той же точке $(1, 0)$ на действительной оси.

Ответ: $z^1 = 1, z^2 = 1, z^3 = 1, z^4 = 1, z^5 = 1$. Все степени соответствуют точке $(1, 0)$.

б) Для комплексного числа $z = -1$:

$z^1 = (-1)^1 = -1$. Точка на комплексной плоскости: $(-1, 0)$.

$z^2 = (-1)^2 = 1$. Точка на комплексной плоскости: $(1, 0)$.

$z^3 = (-1)^3 = -1$. Точка на комплексной плоскости: $(-1, 0)$.

$z^4 = (-1)^4 = 1$. Точка на комплексной плоскости: $(1, 0)$.

$z^5 = (-1)^5 = -1$. Точка на комплексной плоскости: $(-1, 0)$.

Степени числа $z=-1$ поочередно принимают значения -1 и 1, что соответствует двум точкам $(-1, 0)$ и $(1, 0)$ на действительной оси.

Ответ: $z^1 = -1, z^2 = 1, z^3 = -1, z^4 = 1, z^5 = -1$. Соответствующие точки: $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.

в) Для комплексного числа $z = i$:

$z^1 = i$. Точка на комплексной плоскости: $(0, 1)$.

$z^2 = i^2 = -1$. Точка на комплексной плоскости: $(-1, 0)$.

$z^3 = i^3 = i^2 \cdot i = -i$. Точка на комплексной плоскости: $(0, -1)$.

$z^4 = i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$. Точка на комплексной плоскости: $(1, 0)$.

$z^5 = i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i$. Точка на комплексной плоскости: $(0, 1)$.

Точки циклически повторяются с периодом 4: $(0, 1), (-1, 0), (0, -1), (1, 0)$.

Ответ: $z^1 = i, z^2 = -1, z^3 = -i, z^4 = 1, z^5 = i$. Соответствующие точки: $(0, 1), (-1, 0), (0, -1), (1, 0)$.

г) Для комплексного числа $z = -i$:

$z^1 = -i$. Точка на комплексной плоскости: $(0, -1)$.

$z^2 = (-i)^2 = i^2 = -1$. Точка на комплексной плоскости: $(-1, 0)$.

$z^3 = (-i)^3 = -i^3 = -(-i) = i$. Точка на комплексной плоскости: $(0, 1)$.

$z^4 = (-i)^4 = i^4 = 1$. Точка на комплексной плоскости: $(1, 0)$.

$z^5 = (-i)^5 = -i^5 = -i$. Точка на комплексной плоскости: $(0, -1)$.

Точки циклически повторяются с периодом 4: $(0, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, 0)$.

Ответ: $z^1 = -i, z^2 = -1, z^3 = i, z^4 = 1, z^5 = -i$. Соответствующие точки: $(0, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, 0)$.

д) Для комплексного числа $z = 1 + i$:

$z^1 = 1 + i$. Точка на комплексной плоскости: $(1, 1)$.

$z^2 = (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i$. Точка на комплексной плоскости: $(0, 2)$.

$z^3 = z^2 \cdot z = 2i(1 + i) = 2i + 2i^2 = -2 + 2i$. Точка на комплексной плоскости: $(-2, 2)$.

$z^4 = (z^2)^2 = (2i)^2 = 4i^2 = -4$. Точка на комплексной плоскости: $(-4, 0)$.

$z^5 = z^4 \cdot z = -4(1 + i) = -4 - 4i$. Точка на комплексной плоскости: $(-4, -4)$.

Ответ: $z^1 = 1+i, z^2 = 2i, z^3 = -2+2i, z^4 = -4, z^5 = -4-4i$. Соответствующие точки: $(1, 1), (0, 2), (-2, 2), (-4, 0), (-4, -4)$.

е) Для комплексного числа $z = 1 - i$:

$z^1 = 1 - i$. Точка на комплексной плоскости: $(1, -1)$.

$z^2 = (1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = -2i$. Точка на комплексной плоскости: $(0, -2)$.

$z^3 = z^2 \cdot z = -2i(1 - i) = -2i + 2i^2 = -2 - 2i$. Точка на комплексной плоскости: $(-2, -2)$.

$z^4 = (z^2)^2 = (-2i)^2 = 4i^2 = -4$. Точка на комплексной плоскости: $(-4, 0)$.

$z^5 = z^4 \cdot z = -4(1 - i) = -4 + 4i$. Точка на комплексной плоскости: $(-4, 4)$.

Ответ: $z^1 = 1-i, z^2 = -2i, z^3 = -2-2i, z^4 = -4, z^5 = -4+4i$. Соответствующие точки: $(1, -1), (0, -2), (-2, -2), (-4, 0), (-4, 4)$.

ж) Для комплексного числа $z = -1 + i$:

$z^1 = -1 + i$. Точка на комплексной плоскости: $(-1, 1)$.

$z^2 = (-1 + i)^2 = 1 - 2i + i^2 = -2i$. Точка на комплексной плоскости: $(0, -2)$.

$z^3 = z^2 \cdot z = -2i(-1 + i) = 2i - 2i^2 = 2 + 2i$. Точка на комплексной плоскости: $(2, 2)$.

$z^4 = (z^2)^2 = (-2i)^2 = 4i^2 = -4$. Точка на комплексной плоскости: $(-4, 0)$.

$z^5 = z^4 \cdot z = -4(-1 + i) = 4 - 4i$. Точка на комплексной плоскости: $(4, -4)$.

Ответ: $z^1 = -1+i, z^2 = -2i, z^3 = 2+2i, z^4 = -4, z^5 = 4-4i$. Соответствующие точки: $(-1, 1), (0, -2), (2, 2), (-4, 0), (4, -4)$.

з) Для комплексного числа $z = -1 - i$:

$z^1 = -1 - i$. Точка на комплексной плоскости: $(-1, -1)$.

$z^2 = (-1 - i)^2 = (-(1+i))^2 = (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i$. Точка на комплексной плоскости: $(0, 2)$.

$z^3 = z^2 \cdot z = 2i(-1 - i) = -2i - 2i^2 = 2 - 2i$. Точка на комплексной плоскости: $(2, -2)$.

$z^4 = (z^2)^2 = (2i)^2 = 4i^2 = -4$. Точка на комплексной плоскости: $(-4, 0)$.

$z^5 = z^4 \cdot z = -4(-1 - i) = 4 + 4i$. Точка на комплексной плоскости: $(4, 4)$.

Ответ: $z^1 = -1-i, z^2 = 2i, z^3 = 2-2i, z^4 = -4, z^5 = 4+4i$. Соответствующие точки: $(-1, -1), (0, 2), (2, -2), (-4, 0), (4, 4)$.

17.15 Возведите в степень с показателем $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ комплексное число $z$ и найдите на комплексной плоскости точки, соответствующие полученным числам:

а) $z = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$;

б) $z = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$;

в) $z = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$;

г) $z = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$;

д) $z = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$;

е) $z = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$.

Для решения задачи представим комплексные числа в тригонометрической форме $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r = |z|$ - модуль числа, а $\varphi = \arg(z)$ - его аргумент. Возведение в степень $n$ производится по формуле Муавра: $z^n = r^n(\cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi))$.

Во всех предоставленных случаях модуль $r = \sqrt{(\pm \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\pm \frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = 1$ или $r = \sqrt{(\pm \frac{1}{2})^2 + (\pm \frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1$.

Следовательно, формула Муавра упрощается до $z^n = \cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi)$. Это означает, что все полученные точки будут лежать на единичной окружности на комплексной плоскости.

Дано комплексное число $z = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$.

Находим аргумент $\varphi$: $\cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \varphi = \frac{1}{2}$. Следовательно, $\varphi = \frac{\pi}{6}$.

Тригонометрическая форма: $z = \cos(\frac{\pi}{6}) + i \sin(\frac{\pi}{6})$.

Возводим в степени $n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ по формуле $z^n = \cos(\frac{n\pi}{6}) + i \sin(\frac{n\pi}{6})$:

• $n=1: z^1 = \cos(\frac{\pi}{6}) + i \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$
• $n=2: z^2 = \cos(\frac{2\pi}{6}) + i \sin(\frac{2\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$
• $n=3: z^3 = \cos(\frac{3\pi}{6}) + i \sin(\frac{3\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{2}) + i \sin(\frac{\pi}{2}) = i$
• $n=4: z^4 = \cos(\frac{4\pi}{6}) + i \sin(\frac{4\pi}{6}) = \cos(\frac{2\pi}{3}) + i \sin(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$
• $n=5: z^5 = \cos(\frac{5\pi}{6}) + i \sin(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$
• $n=6: z^6 = \cos(\frac{6\pi}{6}) + i \sin(\frac{6\pi}{6}) = \cos(\pi) + i \sin(\pi) = -1$
• $n=7: z^7 = \cos(\frac{7\pi}{6}) + i \sin(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$

Точки на комплексной плоскости имеют координаты: $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(0, 1)$, $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$, $(-1, 0)$, $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$. Эти точки являются вершинами правильного двенадцатиугольника, вписанного в единичную окружность.

Ответ: $z^1=\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$, $z^2=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z^3=i$, $z^4=-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z^5=-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$, $z^6=-1$, $z^7=-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$.

Дано комплексное число $z = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$.

Находим аргумент $\varphi$: $\cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \varphi = -\frac{1}{2}$. Следовательно, $\varphi = -\frac{\pi}{6}$.

Тригонометрическая форма: $z = \cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6})$.

Возводим в степени $n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ по формуле $z^n = \cos(-\frac{n\pi}{6}) + i \sin(-\frac{n\pi}{6})$:

• $n=1: z^1 = \cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$
• $n=2: z^2 = \cos(-\frac{2\pi}{6}) + i \sin(-\frac{2\pi}{6}) = \cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$
• $n=3: z^3 = \cos(-\frac{3\pi}{6}) + i \sin(-\frac{3\pi}{6}) = \cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}) = -i$
• $n=4: z^4 = \cos(-\frac{4\pi}{6}) + i \sin(-\frac{4\pi}{6}) = \cos(-\frac{2\pi}{3}) + i \sin(-\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$
• $n=5: z^5 = \cos(-\frac{5\pi}{6}) + i \sin(-\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$
• $n=6: z^6 = \cos(-\frac{6\pi}{6}) + i \sin(-\frac{6\pi}{6}) = \cos(-\pi) + i \sin(-\pi) = -1$
• $n=7: z^7 = \cos(-\frac{7\pi}{6}) + i \sin(-\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$

Точки на комплексной плоскости: $(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(0, -1)$, $(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$, $(-1, 0)$, $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.

Ответ: $z^1=\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$, $z^2=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z^3=-i$, $z^4=-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z^5=-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$, $z^6=-1$, $z^7=-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$.

Дано комплексное число $z = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$.

Находим аргумент $\varphi$: $\cos \varphi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \varphi = \frac{1}{2}$. Следовательно, $\varphi = \frac{5\pi}{6}$.

Тригонометрическая форма: $z = \cos(\frac{5\pi}{6}) + i \sin(\frac{5\pi}{6})$.

Возводим в степени $n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ по формуле $z^n = \cos(\frac{5n\pi}{6}) + i \sin(\frac{5n\pi}{6})$:

• $n=1: z^1 = \cos(\frac{5\pi}{6}) + i \sin(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$
• $n=2: z^2 = \cos(\frac{10\pi}{6}) + i \sin(\frac{10\pi}{6}) = \cos(\frac{5\pi}{3}) + i \sin(\frac{5\pi}{3}) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$
• $n=3: z^3 = \cos(\frac{15\pi}{6}) + i \sin(\frac{15\pi}{6}) = \cos(\frac{5\pi}{2}) + i \sin(\frac{5\pi}{2}) = i$
• $n=4: z^4 = \cos(\frac{20\pi}{6}) + i \sin(\frac{20\pi}{6}) = \cos(\frac{10\pi}{3}) + i \sin(\frac{10\pi}{3}) = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$
• $n=5: z^5 = \cos(\frac{25\pi}{6}) + i \sin(\frac{25\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) + i \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$
• $n=6: z^6 = \cos(\frac{30\pi}{6}) + i \sin(\frac{30\pi}{6}) = \cos(5\pi) + i \sin(5\pi) = -1$
• $n=7: z^7 = \cos(\frac{35\pi}{6}) + i \sin(\frac{35\pi}{6}) = \cos(\frac{11\pi}{6}) + i \sin(\frac{11\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$

Точки на комплексной плоскости: $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(0, 1)$, $(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$, $(-1, 0)$, $(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$.

Ответ: $z^1=-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$, $z^2=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z^3=i$, $z^4=-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z^5=\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$, $z^6=-1$, $z^7=\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$.

Дано комплексное число $z = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$.

Находим аргумент $\varphi$: $\cos \varphi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \varphi = -\frac{1}{2}$. Следовательно, $\varphi = \frac{7\pi}{6}$.

Тригонометрическая форма: $z = \cos(\frac{7\pi}{6}) + i \sin(\frac{7\pi}{6})$.

Возводим в степени $n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ по формуле $z^n = \cos(\frac{7n\pi}{6}) + i \sin(\frac{7n\pi}{6})$:

• $n=1: z^1 = \cos(\frac{7\pi}{6}) + i \sin(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$
• $n=2: z^2 = \cos(\frac{14\pi}{6}) + i \sin(\frac{14\pi}{6}) = \cos(\frac{7\pi}{3}) + i \sin(\frac{7\pi}{3}) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$
• $n=3: z^3 = \cos(\frac{21\pi}{6}) + i \sin(\frac{21\pi}{6}) = \cos(\frac{7\pi}{2}) + i \sin(\frac{7\pi}{2}) = -i$
• $n=4: z^4 = \cos(\frac{28\pi}{6}) + i \sin(\frac{28\pi}{6}) = \cos(\frac{14\pi}{3}) + i \sin(\frac{14\pi}{3}) = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$
• $n=5: z^5 = \cos(\frac{35\pi}{6}) + i \sin(\frac{35\pi}{6}) = \cos(\frac{11\pi}{6}) + i \sin(\frac{11\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$
• $n=6: z^6 = \cos(\frac{42\pi}{6}) + i \sin(\frac{42\pi}{6}) = \cos(7\pi) + i \sin(7\pi) = -1$
• $n=7: z^7 = \cos(\frac{49\pi}{6}) + i \sin(\frac{49\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) + i \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$

Точки на комплексной плоскости: $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(0, -1)$, $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$, $(-1, 0)$, $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.

Ответ: $z^1=-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$, $z^2=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z^3=-i$, $z^4=-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z^5=\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$, $z^6=-1$, $z^7=\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$.

Дано комплексное число $z = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$.

Находим аргумент $\varphi$: $\cos \varphi = \frac{1}{2}$, $\sin \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $\varphi = \frac{\pi}{3}$.

Тригонометрическая форма: $z = \cos(\frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{3})$.

Возводим в степени $n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ по формуле $z^n = \cos(\frac{n\pi}{3}) + i \sin(\frac{n\pi}{3})$:

• $n=1: z^1 = \cos(\frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$
• $n=2: z^2 = \cos(\frac{2\pi}{3}) + i \sin(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$
• $n=3: z^3 = \cos(\pi) + i \sin(\pi) = -1$
• $n=4: z^4 = \cos(\frac{4\pi}{3}) + i \sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$
• $n=5: z^5 = \cos(\frac{5\pi}{3}) + i \sin(\frac{5\pi}{3}) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$
• $n=6: z^6 = \cos(2\pi) + i \sin(2\pi) = 1$
• $n=7: z^7 = \cos(\frac{7\pi}{3}) + i \sin(\frac{7\pi}{3}) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$

Точки на комплексной плоскости: $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-1, 0)$, $(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(1, 0)$. Эти точки являются вершинами правильного шестиугольника, вписанного в единичную окружность. $z^7$ совпадает с $z^1$.

Ответ: $z^1=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z^2=-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z^3=-1$, $z^4=-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z^5=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z^6=1$, $z^7=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$.

Дано комплексное число $z = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$.

Находим аргумент $\varphi$: $\cos \varphi = \frac{1}{2}$, $\sin \varphi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $\varphi = -\frac{\pi}{3}$.

Тригонометрическая форма: $z = \cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3})$.

Возводим в степени $n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ по формуле $z^n = \cos(-\frac{n\pi}{3}) + i \sin(-\frac{n\pi}{3})$:

• $n=1: z^1 = \cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$
• $n=2: z^2 = \cos(-\frac{2\pi}{3}) + i \sin(-\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$
• $n=3: z^3 = \cos(-\pi) + i \sin(-\pi) = -1$
• $n=4: z^4 = \cos(-\frac{4\pi}{3}) + i \sin(-\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$
• $n=5: z^5 = \cos(-\frac{5\pi}{3}) + i \sin(-\frac{5\pi}{3}) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$
• $n=6: z^6 = \cos(-2\pi) + i \sin(-2\pi) = 1$
• $n=7: z^7 = \cos(-\frac{7\pi}{3}) + i \sin(-\frac{7\pi}{3}) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

Точки на комплексной плоскости: $(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-1, 0)$, $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(1, 0)$. Эти точки также являются вершинами правильного шестиугольника, вписанного в единичную окружность. $z^7$ совпадает с $z^1$.

Ответ: $z^1=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z^2=-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z^3=-1$, $z^4=-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z^5=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z^6=1$, $z^7=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$.