Номер 17.27, страница 401 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел - номер 17.27, страница 401.

Условие.

17.27 Найдите корни степени 4 из комплексного числа:

а) $-8+8\sqrt{3}i$;

б) $-2-2\sqrt{3}i$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $-8+8\sqrt{3}i$

Чтобы найти корни степени 4 из комплексного числа $z = -8+8\sqrt{3}i$, сначала представим его в тригонометрической форме $z = r(\cos\phi + i\sin\phi)$.

1. Находим модуль $r$ комплексного числа:
$r = |z| = \sqrt{(-8)^2 + (8\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 + 64 \cdot 3} = \sqrt{64 \cdot 4} = \sqrt{256} = 16$.

2. Находим аргумент $\phi$ комплексного числа:
$\cos\phi = \frac{\text{Re}(z)}{r} = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}$
$\sin\phi = \frac{\text{Im}(z)}{r} = \frac{8\sqrt{3}}{16} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Так как $\cos\phi < 0$ и $\sin\phi > 0$, угол $\phi$ находится во второй координатной четверти. Следовательно, $\phi = \frac{2\pi}{3}$.

3. Тригонометрическая форма числа:
$z = 16\left(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right)$.

4. Находим корни по формуле Муавра для корней:
$w_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos\left(\frac{\phi+2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\phi+2\pi k}{n}\right)\right)$, где $n=4$ и $k=0, 1, 2, 3$.
$w_k = \sqrt[4]{16}\left(\cos\left(\frac{2\pi/3 + 2\pi k}{4}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi/3 + 2\pi k}{4}\right)\right)$
$w_k = 2\left(\cos\left(\frac{2\pi + 6\pi k}{12}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi + 6\pi k}{12}\right)\right)$
$w_k = 2\left(\cos\left(\frac{\pi(1+3k)}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi(1+3k)}{6}\right)\right)$

5. Вычисляем значения корней для $k=0, 1, 2, 3$:
При $k=0$:
$w_0 = 2\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\right) = \sqrt{3} + i$.
При $k=1$:
$w_1 = 2\left(\cos\left(\frac{4\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{4\pi}{6}\right)\right) = 2\left(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right) = 2\left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -1 + i\sqrt{3}$.
При $k=2$:
$w_2 = 2\left(\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)\right) = 2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}\right) = -\sqrt{3} - i$.
При $k=3$:
$w_3 = 2\left(\cos\left(\frac{10\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{10\pi}{6}\right)\right) = 2\left(\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right)\right) = 2\left(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 - i\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3} + i, -1 + i\sqrt{3}, -\sqrt{3} - i, 1 - i\sqrt{3}$.

б) $-2-2\sqrt{3}i$

Аналогично, найдем корни степени 4 из комплексного числа $z = -2-2\sqrt{3}i$.

1. Находим модуль $r$ комплексного числа:
$r = |z| = \sqrt{(-2)^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 4 \cdot 3} = \sqrt{16} = 4$.

2. Находим аргумент $\phi$ комплексного числа:
$\cos\phi = \frac{\text{Re}(z)}{r} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
$\sin\phi = \frac{\text{Im}(z)}{r} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Так как $\cos\phi < 0$ и $\sin\phi < 0$, угол $\phi$ находится в третьей координатной четверти. Следовательно, $\phi = \frac{4\pi}{3}$.

3. Тригонометрическая форма числа:
$z = 4\left(\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)\right)$.

4. Находим корни по формуле Муавра для корней:
$w_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos\left(\frac{\phi+2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\phi+2\pi k}{n}\right)\right)$, где $n=4$ и $k=0, 1, 2, 3$.
$w_k = \sqrt[4]{4}\left(\cos\left(\frac{4\pi/3 + 2\pi k}{4}\right) + i\sin\left(\frac{4\pi/3 + 2\pi k}{4}\right)\right)$
$w_k = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{4\pi + 6\pi k}{12}\right) + i\sin\left(\frac{4\pi + 6\pi k}{12}\right)\right)$
$w_k = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi(2+3k)}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi(2+3k)}{6}\right)\right)$

5. Вычисляем значения корней для $k=0, 1, 2, 3$:
При $k=0$:
$w_0 = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{2\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{6}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{6}}{2}$.
При $k=1$:
$w_1 = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\right) = \sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\right) = -\frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.
При $k=2$:
$w_2 = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{8\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{8\pi}{6}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)\right) = \sqrt{2}\left(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{6}}{2}$.
При $k=3$:
$w_3 = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{11\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{11\pi}{6}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{6}}{2}, -\frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.