Номер 18.7, страница 408 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 18. Корни многочленов. Показательная форма комплексных чисел - номер 18.7, страница 408.

Условие.

18.7 Запишите в алгебраической форме комплексное число:

а) $e^{\frac{i\pi}{4}}$;

б) $2e^{\frac{i\pi}{3}}$;

в) $4e^{\frac{i\pi}{2}}$;

г) $5e^{i\pi}$;

д) $6e^{\frac{3i\pi}{4}}$;

е) $7e^{\frac{2i\pi}{3}}$;

ж) $8e^{\frac{3i\pi}{2}}$;

з) $9e^{2i\pi}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения данной задачи необходимо преобразовать комплексные числа из показательной формы $z = re^{i\phi}$ в алгебраическую форму $z = x + iy$. Для этого используется формула Эйлера:$e^{i\phi} = \cos(\phi) + i\sin(\phi)$Следовательно, $z = r(\cos(\phi) + i\sin(\phi))$.

а) Запишем в алгебраической форме комплексное число $e^{i\frac{\pi}{4}}$.
В данном случае модуль $r=1$, а аргумент $\phi = \frac{\pi}{4}$.
Применяя формулу Эйлера, получаем:
$e^{i\frac{\pi}{4}} = \cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})$.
Поскольку $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то:
$e^{i\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) Запишем в алгебраической форме комплексное число $2e^{i\frac{\pi}{3}}$.
Здесь модуль $r=2$, а аргумент $\phi = \frac{\pi}{3}$.
$2e^{i\frac{\pi}{3}} = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))$.
Зная, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + i\sqrt{3}$.
Ответ: $1 + i\sqrt{3}$.

в) Запишем в алгебраической форме комплексное число $4e^{i\frac{\pi}{2}}$.
Здесь модуль $r=4$, а аргумент $\phi = \frac{\pi}{2}$.
$4e^{i\frac{\pi}{2}} = 4(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}))$.
Поскольку $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$:
$4(0 + i \cdot 1) = 4i$.
Ответ: $4i$.

г) Запишем в алгебраической форме комплексное число $5e^{i\pi}$.
Здесь модуль $r=5$, а аргумент $\phi = \pi$.
$5e^{i\pi} = 5(\cos(\pi) + i\sin(\pi))$.
Так как $\cos(\pi) = -1$ и $\sin(\pi) = 0$:
$5(-1 + i \cdot 0) = -5$.
Ответ: $-5$.

д) Запишем в алгебраической форме комплексное число $6e^{i\frac{3\pi}{4}}$.
Здесь модуль $r=6$, а аргумент $\phi = \frac{3\pi}{4}$.
$6e^{i\frac{3\pi}{4}} = 6(\cos(\frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{3\pi}{4}))$.
Зная, что $\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:
$6(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = -3\sqrt{2} + i3\sqrt{2}$.
Ответ: $-3\sqrt{2} + i3\sqrt{2}$.

е) Запишем в алгебраической форме комплексное число $7e^{i\frac{2\pi}{3}}$.
Здесь модуль $r=7$, а аргумент $\phi = \frac{2\pi}{3}$.
$7e^{i\frac{2\pi}{3}} = 7(\cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3}))$.
Поскольку $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$7(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{7}{2} + i\frac{7\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-\frac{7}{2} + i\frac{7\sqrt{3}}{2}$.

ж) Запишем в алгебраической форме комплексное число $8e^{i\frac{3\pi}{2}}$.
Здесь модуль $r=8$, а аргумент $\phi = \frac{3\pi}{2}$.
$8e^{i\frac{3\pi}{2}} = 8(\cos(\frac{3\pi}{2}) + i\sin(\frac{3\pi}{2}))$.
Зная, что $\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$ и $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$:
$8(0 + i(-1)) = -8i$.
Ответ: $-8i$.

з) Запишем в алгебраической форме комплексное число $9e^{2i\pi}$.
Здесь модуль $r=9$, а аргумент $\phi = 2\pi$.
$9e^{2i\pi} = 9(\cos(2\pi) + i\sin(2\pi))$.
Поскольку $\cos(2\pi) = 1$ и $\sin(2\pi) = 0$:
$9(1 + i \cdot 0) = 9$.
Ответ: $9$.