Номер 4, страница 410 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 4, страница 410.

Условие.

4 a) Делится ли число $679^{679}$ на число 2001? Ответ обоснуйте.

б) Делится ли на 679 число $2001^4 - 1322^4$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Для того чтобы число $679^{679}$ делилось на 2001, необходимо, чтобы все простые множители числа 2001 также являлись простыми множителями числа 679.

Сначала разложим число 2001 на простые множители. Сумма цифр числа 2001 равна $2+0+0+1=3$, значит, число делится на 3.

$2001 = 3 \cdot 667$

Далее разложим на множители 667. Подбором простых делителей находим:

$667 = 23 \cdot 29$

Таким образом, полное разложение числа 2001 на простые множители выглядит так: $2001 = 3 \cdot 23 \cdot 29$.

Теперь рассмотрим число 679. Проверим, делится ли оно на 3. Сумма его цифр $6+7+9=22$. Поскольку 22 не делится на 3, то и само число 679 не делится на 3.

Число $679^{679}$ является произведением числа 679, взятого 679 раз. Его простые множители — это те же, что и у числа 679. Так как 3 не является простым множителем числа 679, то 3 не может быть и простым множителем числа $679^{679}$.

Поскольку число $679^{679}$ не делится на 3, а число 2001 делится на 3, то число $679^{679}$ не может делиться на 2001.

Ответ: нет, не делится.

б)

Рассмотрим выражение $2001^4 - 1322^4$. Это разность четвертых степеней. Для ее решения воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Представим выражение в виде разности квадратов:

$2001^4 - 1322^4 = (2001^2)^2 - (1322^2)^2 = (2001^2 - 1322^2)(2001^2 + 1322^2)$

Применим формулу разности квадратов еще раз для первого множителя:

$(2001^2 - 1322^2) = (2001 - 1322)(2001 + 1322)$

Теперь все выражение можно записать в виде:

$2001^4 - 1322^4 = (2001 - 1322)(2001 + 1322)(2001^2 + 1322^2)$

Вычислим значение первого множителя в этом произведении:

$2001 - 1322 = 679$

Таким образом, исходное выражение равно:

$2001^4 - 1322^4 = 679 \cdot (2001 + 1322) \cdot (2001^2 + 1322^2)$

Поскольку один из множителей в произведении равен 679, а остальные множители $(2001 + 1322)$ и $(2001^2 + 1322^2)$ являются целыми числами, их произведение также является целым числом. Следовательно, все выражение $2001^4 - 1322^4$ делится на 679 нацело.

Ответ: да, делится.