Номер 5, страница 410 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 5, страница 410.

Условие.

5 а) Натуральные числа с 1 по 2001 записали подряд без запятых:
123456789101112131415161718...20002001.
Делится ли полученное число на 3; на 9?

б) Натуральные числа, начиная с 1, выписали подряд без запятых: 123456789101112131415161718192021...
Какая цифра стоит на 2001-м месте?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Согласно признакам делимости, число делится на 3 (или на 9) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 (или на 9). Таким образом, задача сводится к нахождению суммы цифр $S$ всех натуральных чисел от 1 до 2001.

Разобьем вычисление на несколько этапов:

1. Сумма цифр чисел от 1 до 999.
Рассмотрим все числа от 000 до 999. Всего таких чисел 1000, и каждое можно представить в виде трехзначного числа (добавив ведущие нули, например, 1 как 001). Общее количество цифр в этих числах равно $1000 \times 3 = 3000$. В силу симметрии, каждая из цифр от 0 до 9 встречается одинаковое количество раз: $3000 / 10 = 300$ раз. Сумма всех цифр от 0 до 9 составляет $0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$. Тогда общая сумма цифр для чисел от 000 до 999 равна $300 \times 45 = 13500$. Добавление ведущих нулей не меняет сумму цифр, поэтому сумма цифр натуральных чисел от 1 до 999 также равна 13500.

2. Сумма цифр чисел от 1000 до 1999.
В каждом из этих 1000 чисел первая цифра (в разряде тысяч) — это 1. Сумма этих первых цифр равна $1000 \times 1 = 1000$. Оставшиеся три цифры в каждом числе пробегают все значения от 000 до 999. Сумма этих цифр, как мы уже выяснили в предыдущем пункте, равна 13500. Таким образом, общая сумма цифр для чисел от 1000 до 1999 составляет $1000 + 13500 = 14500$.

3. Сумма цифр чисел 2000 и 2001.
Сумма цифр числа 2000 равна $2+0+0+0 = 2$.
Сумма цифр числа 2001 равна $2+0+0+1 = 3$.
Их общая сумма равна $2+3 = 5$.

4. Общая сумма цифр $S$.
Сложим все полученные суммы: $S = 13500 + 14500 + 5 = 28005$.

5. Проверка делимости.
Теперь проверим делимость числа $S = 28005$ на 3 и 9. Сумма цифр самого числа $S$ равна $2+8+0+0+5 = 15$.
- Поскольку 15 делится на 3 ($15 = 3 \times 5$), то и число $S$ делится на 3, а значит, и исходное большое число делится на 3.
- Поскольку 15 не делится на 9, то и число $S$ не делится на 9, а значит, и исходное большое число не делится на 9.

Ответ: Полученное число делится на 3, но не делится на 9.

б)

Чтобы найти цифру, стоящую на 2001-м месте, определим, сколько цифр занимают числа разной длины.

1. Однозначные числа (1-9):
Всего 9 чисел, каждое состоит из одной цифры. Они занимают $9 \times 1 = 9$ мест в последовательности.

2. Двузначные числа (10-99):
Всего $99 - 10 + 1 = 90$ чисел. Каждое состоит из двух цифр. Они занимают $90 \times 2 = 180$ мест.

Общее количество мест, занятых однозначными и двузначными числами, равно $9 + 180 = 189$.
Поскольку $2001 > 189$, искомая цифра принадлежит одному из трехзначных чисел.

3. Трехзначные числа (100-999):
Определим позицию искомой цифры внутри блока трехзначных чисел. Отнимем количество цифр, которые уже прошли: $2001 - 189 = 1812$. Это значит, что нам нужна 1812-я цифра в последовательности, состоящей из выписанных подряд трехзначных чисел (100101102...).

Каждое трехзначное число состоит из 3 цифр. Чтобы найти, какому по счету трехзначному числу принадлежит 1812-я цифра, разделим 1812 на 3: $1812 \div 3 = 604$. Деление прошло без остатка. Это означает, что 1812-я цифра является последней, третьей цифрой 604-го по счету трехзначного числа.

Теперь найдем это число. Первое трехзначное число — 100, второе — 101, и так далее. Номер 604 в последовательности трехзначных чисел имеет число: $100 + (604 - 1) = 100 + 603 = 703$.

Искомая цифра — это последняя цифра числа 703.

Ответ: На 2001-м месте стоит цифра 3.