Страница 408 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Представьте в показательной форме комплексное число (18.5—18.6):

18.5 а) $3 - 4i$; б) $1 + i$; в) $1 - i$; г) $1 + 2i$;

д) $5$; е) $-3$; ж) $5i$; з) $-3i$.

Чтобы представить комплексное число $z = x + iy$ в показательной (или экспоненциальной) форме $z = re^{i\varphi}$, необходимо найти его модуль $r$ и аргумент $\varphi$.

Модуль вычисляется по формуле: $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Аргумент $\varphi$ — это угол, который образует вектор, соответствующий комплексному числу, с положительным направлением действительной оси. Его можно найти из соотношений: $\cos\varphi = \frac{x}{r}$ и $\sin\varphi = \frac{y}{r}$. Главное значение аргумента обычно выбирается в интервале $(-\pi, \pi]$.

а) $3 - 4i$

Дано комплексное число $z = 3 - 4i$. Здесь действительная часть $x = 3$, а мнимая часть $y = -4$.

1. Находим модуль числа $r$: $r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

2. Находим аргумент $\varphi$: $\cos\varphi = \frac{x}{r} = \frac{3}{5}$ $\sin\varphi = \frac{y}{r} = \frac{-4}{5}$ Число находится в IV четверти комплексной плоскости. Аргумент можно выразить через арктангенс: $\varphi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \arctan\left(\frac{-4}{3}\right) = -\arctan\left(\frac{4}{3}\right)$.

3. Записываем число в показательной форме: $z = re^{i\varphi} = 5e^{-i \arctan(4/3)}$.

Ответ: $5e^{-i \arctan(4/3)}$.

б) $1 + i$

Дано комплексное число $z = 1 + i$. Здесь $x = 1$, $y = 1$.

1. Находим модуль числа $r$: $r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

2. Находим аргумент $\varphi$: $\cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin\varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Число находится в I четверти. Этим условиям соответствует угол $\varphi = \frac{\pi}{4}$.

3. Записываем число в показательной форме: $z = re^{i\varphi} = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$.

Ответ: $\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$.

в) $1 - i$

Дано комплексное число $z = 1 - i$. Здесь $x = 1$, $y = -1$.

1. Находим модуль числа $r$: $r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

2. Находим аргумент $\varphi$: $\cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin\varphi = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ Число находится в IV четверти. Этим условиям соответствует угол $\varphi = -\frac{\pi}{4}$.

3. Записываем число в показательной форме: $z = re^{i\varphi} = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$.

Ответ: $\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$.

г) $1 + 2i$

Дано комплексное число $z = 1 + 2i$. Здесь $x = 1$, $y = 2$.

1. Находим модуль числа $r$: $r = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

2. Находим аргумент $\varphi$: $\cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{5}}$ $\sin\varphi = \frac{2}{\sqrt{5}}$ Число находится в I четверти. Аргумент можно выразить через арктангенс: $\varphi = \arctan\left(\frac{2}{1}\right) = \arctan(2)$.

3. Записываем число в показательной форме: $z = re^{i\varphi} = \sqrt{5}e^{i \arctan(2)}$.

Ответ: $\sqrt{5}e^{i \arctan(2)}$.

д) $5$

Дано комплексное число $z = 5$. Это действительное число, поэтому $x = 5$, $y = 0$.

1. Модуль числа $r = |5| = 5$.

2. Аргумент $\varphi$: число находится на положительной действительной оси, поэтому угол $\varphi = 0$.

3. Записываем число в показательной форме: $z = re^{i\varphi} = 5e^{i \cdot 0}$.

Ответ: $5e^{i0}$.

е) $-3$

Дано комплексное число $z = -3$. Это действительное число, $x = -3$, $y = 0$.

1. Модуль числа $r = |-3| = 3$.

2. Аргумент $\varphi$: число находится на отрицательной действительной оси, поэтому угол $\varphi = \pi$.

3. Записываем число в показательной форме: $z = re^{i\varphi} = 3e^{i\pi}$.

Ответ: $3e^{i\pi}$.

ж) $5i$

Дано комплексное число $z = 5i$. Это чисто мнимое число, $x = 0$, $y = 5$.

1. Модуль числа $r = \sqrt{0^2 + 5^2} = 5$.

2. Аргумент $\varphi$: число находится на положительной мнимой оси, поэтому угол $\varphi = \frac{\pi}{2}$.

3. Записываем число в показательной форме: $z = re^{i\varphi} = 5e^{i\frac{\pi}{2}}$.

Ответ: $5e^{i\frac{\pi}{2}}$.

з) $-3i$

Дано комплексное число $z = -3i$. Это чисто мнимое число, $x = 0$, $y = -3$.

1. Модуль числа $r = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = 3$.

2. Аргумент $\varphi$: число находится на отрицательной мнимой оси, поэтому угол $\varphi = -\frac{\pi}{2}$.

3. Записываем число в показательной форме: $z = re^{i\varphi} = 3e^{-i\frac{\pi}{2}}$.

Ответ: $3e^{-i\frac{\pi}{2}}$.

18.6 a) $3(\cos \alpha + i \sin \alpha);$

б) $-4(\cos \alpha + i \sin \alpha);$

в) $5(\cos \alpha - i \sin \alpha);$

г) $-6(\cos \alpha - i \sin \alpha).$

а)

Заданное выражение $3(\cos \alpha + i \sin \alpha)$ уже представлено в тригонометрической форме $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$.Здесь модуль $r = 3$, и так как $3 > 0$, это корректная форма. Аргумент равен $\varphi = \alpha$.

Ответ: $3(\cos \alpha + i \sin \alpha)$.

б)

В выражении $-4(\cos \alpha + i \sin \alpha)$ множитель перед скобками отрицателен, что не соответствует тригонометрической форме комплексного числа, где модуль $r$ должен быть неотрицательным.Чтобы привести выражение к стандартному виду, представим $-1$ в тригонометрической форме: $-1 = \cos \pi + i \sin \pi$.Тогда выражение можно переписать так:$-4(\cos \alpha + i \sin \alpha) = 4 \cdot (-1) \cdot (\cos \alpha + i \sin \alpha) = 4(\cos \pi + i \sin \pi)(\cos \alpha + i \sin \alpha)$.Используя формулу умножения комплексных чисел в тригонометрической форме $z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2))$, получаем:$4(\cos(\pi + \alpha) + i \sin(\pi + \alpha))$.Теперь выражение имеет стандартный вид с модулем $r=4$ и аргументом $\varphi = \pi + \alpha$.

Ответ: $4(\cos(\pi + \alpha) + i \sin(\pi + \alpha))$.

в)

Выражение $5(\cos \alpha - i \sin \alpha)$ отличается от стандартной тригонометрической формы знаком минус перед мнимой частью.Стандартная форма: $r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$.Используем свойства четности косинуса ($\cos(-x) = \cos x$) и нечетности синуса ($\sin(-x) = -\sin x$).Мы можем переписать выражение следующим образом:$\cos \alpha = \cos(-\alpha)$$-\sin \alpha = \sin(-\alpha)$Подставив это в исходное выражение, получим:$5(\cos \alpha - i \sin \alpha) = 5(\cos(-\alpha) + i \sin(-\alpha))$.Теперь выражение представлено в стандартной тригонометрической форме с модулем $r=5$ и аргументом $\varphi = -\alpha$.

Ответ: $5(\cos(-\alpha) + i \sin(-\alpha))$.

г)

В выражении $-6(\cos \alpha - i \sin \alpha)$ присутствуют две проблемы: отрицательный множитель и знак минус внутри скобок. Решим их последовательно.Сначала преобразуем выражение в скобках, как в пункте в):$\cos \alpha - i \sin \alpha = \cos(-\alpha) + i \sin(-\alpha)$.Тогда исходное выражение примет вид:$-6(\cos(-\alpha) + i \sin(-\alpha))$.Теперь, как и в пункте б), разберемся с отрицательным множителем. Представим $-1$ как $\cos \pi + i \sin \pi$.$-6(\cos(-\alpha) + i \sin(-\alpha)) = 6 \cdot (-1) \cdot (\cos(-\alpha) + i \sin(-\alpha)) = 6(\cos \pi + i \sin \pi)(\cos(-\alpha) + i \sin(-\alpha))$.Применяя формулу умножения, складываем аргументы:$\varphi = \pi + (-\alpha) = \pi - \alpha$.Таким образом, получаем стандартную тригонометрическую форму:$6(\cos(\pi - \alpha) + i \sin(\pi - \alpha))$.Модуль числа равен $r=6$, а аргумент $\varphi = \pi - \alpha$.

Ответ: $6(\cos(\pi - \alpha) + i \sin(\pi - \alpha))$.

18.7 Запишите в алгебраической форме комплексное число:

а) $e^{\frac{i\pi}{4}}$;

б) $2e^{\frac{i\pi}{3}}$;

в) $4e^{\frac{i\pi}{2}}$;

г) $5e^{i\pi}$;

д) $6e^{\frac{3i\pi}{4}}$;

е) $7e^{\frac{2i\pi}{3}}$;

ж) $8e^{\frac{3i\pi}{2}}$;

з) $9e^{2i\pi}$.

а) Запишем в алгебраической форме комплексное число $e^{i\frac{\pi}{4}}$.
В данном случае модуль $r=1$, а аргумент $\phi = \frac{\pi}{4}$.
Применяя формулу Эйлера, получаем:
$e^{i\frac{\pi}{4}} = \cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})$.
Поскольку $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то:
$e^{i\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) Запишем в алгебраической форме комплексное число $2e^{i\frac{\pi}{3}}$.
Здесь модуль $r=2$, а аргумент $\phi = \frac{\pi}{3}$.
$2e^{i\frac{\pi}{3}} = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))$.
Зная, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + i\sqrt{3}$.
Ответ: $1 + i\sqrt{3}$.

в) Запишем в алгебраической форме комплексное число $4e^{i\frac{\pi}{2}}$.
Здесь модуль $r=4$, а аргумент $\phi = \frac{\pi}{2}$.
$4e^{i\frac{\pi}{2}} = 4(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}))$.
Поскольку $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$:
$4(0 + i \cdot 1) = 4i$.
Ответ: $4i$.

г) Запишем в алгебраической форме комплексное число $5e^{i\pi}$.
Здесь модуль $r=5$, а аргумент $\phi = \pi$.
$5e^{i\pi} = 5(\cos(\pi) + i\sin(\pi))$.
Так как $\cos(\pi) = -1$ и $\sin(\pi) = 0$:
$5(-1 + i \cdot 0) = -5$.
Ответ: $-5$.

д) Запишем в алгебраической форме комплексное число $6e^{i\frac{3\pi}{4}}$.
Здесь модуль $r=6$, а аргумент $\phi = \frac{3\pi}{4}$.
$6e^{i\frac{3\pi}{4}} = 6(\cos(\frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{3\pi}{4}))$.
Зная, что $\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:
$6(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = -3\sqrt{2} + i3\sqrt{2}$.
Ответ: $-3\sqrt{2} + i3\sqrt{2}$.

е) Запишем в алгебраической форме комплексное число $7e^{i\frac{2\pi}{3}}$.
Здесь модуль $r=7$, а аргумент $\phi = \frac{2\pi}{3}$.
$7e^{i\frac{2\pi}{3}} = 7(\cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3}))$.
Поскольку $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$7(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{7}{2} + i\frac{7\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-\frac{7}{2} + i\frac{7\sqrt{3}}{2}$.

ж) Запишем в алгебраической форме комплексное число $8e^{i\frac{3\pi}{2}}$.
Здесь модуль $r=8$, а аргумент $\phi = \frac{3\pi}{2}$.
$8e^{i\frac{3\pi}{2}} = 8(\cos(\frac{3\pi}{2}) + i\sin(\frac{3\pi}{2}))$.
Зная, что $\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$ и $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$:
$8(0 + i(-1)) = -8i$.
Ответ: $-8i$.

з) Запишем в алгебраической форме комплексное число $9e^{2i\pi}$.
Здесь модуль $r=9$, а аргумент $\phi = 2\pi$.
$9e^{2i\pi} = 9(\cos(2\pi) + i\sin(2\pi))$.
Поскольку $\cos(2\pi) = 1$ и $\sin(2\pi) = 0$:
$9(1 + i \cdot 0) = 9$.
Ответ: $9$.

18.8 Для комплексных чисел $z_1 = r_1e^{i\varphi_1}$ и $z_2 = r_2e^{i\varphi_2}$ докажите равенство:

a) $z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}$,

б) $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\varphi_1 - \varphi_2)}.$

а) Для доказательства равенства необходимо перемножить комплексные числа $z_1 = r_1e^{i\varphi_1}$ и $z_2 = r_2e^{i\varphi_2}$, представленные в показательной форме.
Запишем их произведение:
$z_1 z_2 = (r_1e^{i\varphi_1}) \cdot (r_2e^{i\varphi_2})$
Сгруппируем модули ($r_1, r_2$) и экспоненциальные множители:
$z_1 z_2 = (r_1 r_2) \cdot (e^{i\varphi_1} e^{i\varphi_2})$
Воспользуемся свойством степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В данном случае основание $a=e$, а показатели $m=i\varphi_1$ и $n=i\varphi_2$:
$e^{i\varphi_1} e^{i\varphi_2} = e^{i\varphi_1 + i\varphi_2} = e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}$
Подставив полученный результат в выражение для произведения, получаем:
$z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}$
Таким образом, мы показали, что левая часть равенства равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}$ доказано.

б) Для доказательства равенства необходимо разделить комплексное число $z_1$ на $z_2$.
Запишем их частное:
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1e^{i\varphi_1}}{r_2e^{i\varphi_2}}$
Представим это выражение как произведение отношений модулей и экспоненциальных частей:
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \cdot \frac{e^{i\varphi_1}}{e^{i\varphi_2}}$
Воспользуемся свойством степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. В данном случае основание $a=e$, а показатели $m=i\varphi_1$ и $n=i\varphi_2$:
$\frac{e^{i\varphi_1}}{e^{i\varphi_2}} = e^{i\varphi_1 - i\varphi_2} = e^{i(\varphi_1 - \varphi_2)}$
Подставив полученный результат в выражение для частного, получаем:
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\varphi_1 - \varphi_2)}$
Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\varphi_1 - \varphi_2)}$ доказано.

18.9 Выполните действия:

а) $e^{\frac{i\pi}{5}} \cdot 2e^{\frac{4i\pi}{5}}$;

б) $3e^{\frac{i\pi}{4}} \cdot 4e^{\frac{i\pi}{3}}$;

в) $3e^{\frac{i\pi}{14}} \cdot 4e^{\frac{i\pi}{7}}$;

г) $6e^{\frac{i\pi}{2}} : \left(2e^{\frac{i\pi}{7}}\right)$;

д) $14e^{\frac{i\pi}{4}} : \left(7e^{\frac{i\pi}{6}}\right)$;

е) $12e^{\frac{i\pi}{2}} : \left(8e^{\frac{i\pi}{6}}\right)$.

а) Для выполнения умножения комплексных чисел в показательной форме $z_1 = r_1 e^{i\phi_1}$ и $z_2 = r_2 e^{i\phi_2}$ используется правило: модули перемножаются, а аргументы складываются. Формула умножения: $z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 e^{i(\phi_1 + \phi_2)}$.
В данном примере $e^{\frac{i\pi}{5}} \cdot 2e^{\frac{4i\pi}{5}}$, имеем $r_1 = 1$, $\phi_1 = \frac{\pi}{5}$, $r_2 = 2$, $\phi_2 = \frac{4\pi}{5}$.
Выполним вычисления:
$1 \cdot 2 \cdot e^{i(\frac{\pi}{5} + \frac{4\pi}{5})} = 2e^{i(\frac{5\pi}{5})} = 2e^{i\pi}$.
Используя формулу Эйлера $e^{i\phi} = \cos\phi + i\sin\phi$, получим:
$2e^{i\pi} = 2(\cos\pi + i\sin\pi) = 2(-1 + i \cdot 0) = -2$.
Ответ: $-2$

б) Выполним умножение $3e^{\frac{i\pi}{4}} \cdot 4e^{\frac{i\pi}{3}}$, используя ту же формулу $z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 e^{i(\phi_1 + \phi_2)}$.
Здесь $r_1 = 3$, $\phi_1 = \frac{\pi}{4}$, $r_2 = 4$, $\phi_2 = \frac{\pi}{3}$.
$(3 \cdot 4) e^{i(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3})} = 12e^{i(\frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12})} = 12e^{\frac{7i\pi}{12}}$.
Ответ: $12e^{\frac{7i\pi}{12}}$

в) Выполним умножение $3e^{\frac{i\pi}{14}} \cdot 4e^{\frac{i\pi}{7}}$.
Здесь $r_1 = 3$, $\phi_1 = \frac{\pi}{14}$, $r_2 = 4$, $\phi_2 = \frac{\pi}{7}$.
$(3 \cdot 4) e^{i(\frac{\pi}{14} + \frac{\pi}{7})} = 12e^{i(\frac{\pi}{14} + \frac{2\pi}{14})} = 12e^{\frac{3i\pi}{14}}$.
Ответ: $12e^{\frac{3i\pi}{14}}$

г) Для выполнения деления комплексных чисел в показательной форме $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1 e^{i\phi_1}}{r_2 e^{i\phi_2}}$ используется правило: модуль делимого делится на модуль делителя, а из аргумента делимого вычитается аргумент делителя. Формула деления: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\phi_1 - \phi_2)}$.
В данном примере $6e^{\frac{i\pi}{2}} : (2e^{\frac{i\pi}{7}})$, имеем $r_1 = 6$, $\phi_1 = \frac{\pi}{2}$, $r_2 = 2$, $\phi_2 = \frac{\pi}{7}$.
Выполним вычисления:
$\frac{6}{2} e^{i(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7})} = 3e^{i(\frac{7\pi}{14} - \frac{2\pi}{14})} = 3e^{\frac{5i\pi}{14}}$.
Ответ: $3e^{\frac{5i\pi}{14}}$

д) Выполним деление $14e^{\frac{i\pi}{4}} : (7e^{\frac{i\pi}{6}})$, используя правило деления.
Здесь $r_1 = 14$, $\phi_1 = \frac{\pi}{4}$, $r_2 = 7$, $\phi_2 = \frac{\pi}{6}$.
$\frac{14}{7} e^{i(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6})} = 2e^{i(\frac{3\pi}{12} - \frac{2\pi}{12})} = 2e^{\frac{i\pi}{12}}$.
Ответ: $2e^{\frac{i\pi}{12}}$

е) Выполним деление $12e^{\frac{i\pi}{2}} : (8e^{\frac{i\pi}{6}})$.
Здесь $r_1 = 12$, $\phi_1 = \frac{\pi}{2}$, $r_2 = 8$, $\phi_2 = \frac{\pi}{6}$.
$\frac{12}{8} e^{i(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6})} = \frac{3}{2}e^{i(\frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{6})} = \frac{3}{2}e^{i(\frac{2\pi}{6})} = \frac{3}{2}e^{\frac{i\pi}{3}}$.
Ответ: $\frac{3}{2}e^{\frac{i\pi}{3}}$