Страница 416 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

59 Докажите, что:

а) $p^2 > 4q$, если известно, что $1 + p + q < 0$;

б) $b^2 > 4ac$, если известно, что $(a + b + c)(a - b + c) < 0$.

а) Рассмотрим квадратичную функцию $f(x) = x^2 + px + q$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1$, что больше нуля.

По условию дано неравенство $1 + p + q < 0$. Заметим, что левая часть этого неравенства является значением функции $f(x)$ в точке $x = 1$, так как $f(1) = 1^2 + p \cdot 1 + q = 1 + p + q$. Таким образом, условие задачи можно переписать как $f(1) < 0$.

Поскольку парабола $y=f(x)$ имеет ветви, направленные вверх, и принимает отрицательное значение в некоторой точке, ее вершина должна находиться ниже оси абсцисс. Следовательно, парабола пересекает ось абсцисс в двух различных точках. Это означает, что квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$ имеет два различных действительных корня.

Для того чтобы квадратное уравнение имело два различных действительных корня, его дискриминант $D$ должен быть строго положительным. Дискриминант для данного уравнения равен $D = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot q = p^2 - 4q$. Из условия $D > 0$ следует, что $p^2 - 4q > 0$, что равносильно $p^2 > 4q$.

Ответ: Доказано.

б) Рассмотрим квадратичную функцию $f(x) = ax^2 + bx + c$. По условию дано неравенство $(a + b + c)(a - b + c) < 0$.

Вычислим значения функции $f(x)$ в точках $x = 1$ и $x = -1$: $f(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c$ и $f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c$. Условие задачи можно переписать в виде $f(1) \cdot f(-1) < 0$, что означает, что значения функции в точках $x=1$ и $x=-1$ имеют разные знаки.

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $a \neq 0$. В этом случае график функции $y = f(x)$ — парабола. Если $a > 0$ (ветви вверх), то одно из значений $f(1)$ или $f(-1)$ отрицательно, следовательно, вершина параболы находится ниже оси Ox, и парабола пересекает ось в двух различных точках. Если $a < 0$ (ветви вниз), то одно из значений $f(1)$ или $f(-1)$ положительно, следовательно, вершина параболы находится выше оси Ox, и парабола также пересекает ось в двух различных точках. В обеих ситуациях уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два различных действительных корня. Это означает, что его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ должен быть строго положителен, откуда $b^2 > 4ac$.

Случай 2: $a = 0$. В этом случае доказываемое неравенство принимает вид $b^2 > 4 \cdot 0 \cdot c$, то есть $b^2 > 0$. Исходное условие при $a = 0$ превращается в $(b + c)(-b + c) < 0$, что равносильно $c^2 - b^2 < 0$, или $b^2 > c^2$. Поскольку $c^2 \ge 0$ для любого действительного $c$, то $b^2 > c^2 \ge 0$. Это означает, что $b^2$ должно быть строго положительным (равенство $b=0$ невозможно, так как это привело бы к $0 > c^2$, что неверно для действительных $c$). Таким образом, и в этом случае утверждение доказано.

Поскольку неравенство выполняется во всех рассмотренных случаях, оно доказано.

Ответ: Доказано.

60 a) Пусть $f(x)$ — периодическая функция с периодом 8, такая, что $f(x) = 8x - x^2$ при $x \in [0; 8)$. Решите уравнение $f(2x + 16) + 23 = 5f(x)$.

б) Пусть $f(x)$ — периодическая функция с периодом 1, такая, что $f(x) = x^2$ при $x \in [0; 1)$. Решите уравнение $f(2x + 5) + 2f(x) = 1$.

По условию, $f(x)$ — периодическая функция с периодом $T=8$. Это означает, что для любого $x$ и любого целого $k$ выполняется равенство $f(x + 8k) = f(x)$. На отрезке $x \in [0; 8]$ функция задается формулой $f(x) = 8x - x^2$.

Рассмотрим уравнение $f(2x + 16) + 23 = 5f(x)$.

Используем свойство периодичности для члена $f(2x + 16)$. Так как $16 = 2 \cdot 8$, то есть кратно периоду, мы можем упростить его:

$f(2x + 16) = f(2x + 2 \cdot 8) = f(2x)$.

Таким образом, исходное уравнение сводится к следующему виду:

$f(2x) + 23 = 5f(x)$.

Для решения этого уравнения будем искать корни на основном отрезке $[0; 8)$, а затем обобщим их. Для того чтобы использовать формулу $f(x) = 8x - x^2$, аргумент функции должен находиться в отрезке $[0; 8]$. Разобьем решение на два случая в зависимости от значения $x$.

Случай 1: $x \in [0; 4)$

Если $x \in [0; 4)$, то $2x \in [0; 8)$. В этом случае мы можем применить заданную формулу как для $f(x)$, так и для $f(2x)$:

$f(x) = 8x - x^2$

$f(2x) = 8(2x) - (2x)^2 = 16x - 4x^2$

Подставим эти выражения в уравнение:

$(16x - 4x^2) + 23 = 5(8x - x^2)$

$16x - 4x^2 + 23 = 40x - 5x^2$

$x^2 - 24x + 23 = 0$

По теореме Виета или через дискриминант находим корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 23$.

Проверим, принадлежат ли корни рассматриваемому интервалу $[0; 4)$. Корень $x_1 = 1$ принадлежит этому интервалу, следовательно, является решением. Корень $x_2 = 23$ не принадлежит, поэтому он не является решением в данном случае.

Случай 2: $x \in [4; 8)$

Если $x \in [4; 8)$, то $2x \in [8; 16)$. Аргумент $2x$ выходит за пределы отрезка $[0; 8]$, поэтому для вычисления $f(2x)$ нужно использовать периодичность:

$f(2x) = f(2x - 8)$.

Теперь аргумент $(2x - 8)$ принадлежит отрезку $[0; 8)$, и мы можем применить формулу:

$f(2x) = 8(2x - 8) - (2x - 8)^2 = 16x - 64 - (4x^2 - 32x + 64) = 16x - 64 - 4x^2 + 32x - 64 = -4x^2 + 48x - 128$.

Подставим выражения для $f(x)$ и $f(2x)$ в уравнение:

$(-4x^2 + 48x - 128) + 23 = 5(8x - x^2)$

$-4x^2 + 48x - 105 = 40x - 5x^2$

$x^2 + 8x - 105 = 0$

Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-105) = 64 + 420 = 484 = 22^2$

$x = \frac{-8 \pm 22}{2}$

Получаем два корня: $x_1 = \frac{-8 - 22}{2} = -15$ и $x_2 = \frac{-8 + 22}{2} = 7$.

Проверим, принадлежат ли корни рассматриваемому интервалу $[4; 8)$. Корень $x_1 = -15$ не принадлежит. Корень $x_2 = 7$ принадлежит, следовательно, является решением.

Итак, на основном отрезке $[0; 8)$ мы нашли два решения: $x=1$ и $x=7$.

Поскольку $f(x)$ — периодическая функция с периодом 8, то и решения уравнения будут повторяться с этим же периодом. Если $x_0$ является решением, то и любое число вида $x_0 + 8k$ (где $k \in \mathbb{Z}$) также является решением.

Ответ: $1 + 8k, 7 + 8k, k \in \mathbb{Z}$.

По условию, $f(x)$ — периодическая функция с периодом $T=1$. Это означает, что для любого $x$ и любого целого $k$ выполняется равенство $f(x + k) = f(x)$. На отрезке $x \in [0; 1)$ функция задается формулой $f(x) = x^2$.

Рассмотрим уравнение $f(2x + 5) + 2f(x) = 1$.

Используем свойство периодичности для члена $f(2x + 5)$. Так как 5 — целое число, кратное периоду 1, мы можем упростить его:

$f(2x + 5) = f(2x)$.

Таким образом, исходное уравнение сводится к следующему виду:

$f(2x) + 2f(x) = 1$.

Для решения этого уравнения будем искать корни на основном отрезке $[0; 1)$, а затем обобщим их. Разобьем решение на два случая.

Случай 1: $x \in [0; 1/2)$

Если $x \in [0; 1/2)$, то $2x \in [0; 1)$. В этом случае мы можем применить заданную формулу $f(u)=u^2$ для обоих членов уравнения:

$f(x) = x^2$

$f(2x) = (2x)^2 = 4x^2$

Подставим эти выражения в уравнение:

$4x^2 + 2x^2 = 1$

$6x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{6} \implies x = \pm\sqrt{\frac{1}{6}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{6}$.

Проверим, принадлежат ли корни рассматриваемому интервалу $[0; 1/2)$.

Корень $x = \frac{\sqrt{6}}{6}$ принадлежит этому интервалу (так как $0 < \sqrt{6}/6 \approx 0.408 < 0.5$).

Корень $x = -\frac{\sqrt{6}}{6}$ является отрицательным и не принадлежит интервалу $[0; 1/2)$.

Случай 2: $x \in [1/2; 1)$

Если $x \in [1/2; 1)$, то $2x \in [1; 2)$. Аргумент $2x$ выходит за пределы отрезка $[0; 1)$, поэтому для вычисления $f(2x)$ нужно использовать периодичность:

$f(2x) = f(2x - 1)$.

Теперь аргумент $(2x - 1)$ принадлежит отрезку $[0; 1)$, и мы можем применить формулу:

$f(2x) = (2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$.

Подставим выражения для $f(x)$ и $f(2x)$ в уравнение:

$(4x^2 - 4x + 1) + 2x^2 = 1$

$6x^2 - 4x = 0$

$2x(3x - 2) = 0$

Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2/3$.

Проверим, принадлежат ли корни рассматриваемому интервалу $[1/2; 1)$.

Корень $x_1 = 0$ не принадлежит этому интервалу.

Корень $x_2 = 2/3$ принадлежит интервалу $[1/2; 1)$ (так как $0.5 \le 2/3 < 1$), следовательно, является решением.

Итак, на основном отрезке $[0; 1)$ мы нашли два решения: $x=\frac{\sqrt{6}}{6}$ и $x=2/3$.

Поскольку $f(x)$ — периодическая функция с периодом 1, то и решения уравнения будут повторяться с этим же периодом. Если $x_0$ является решением, то и любое число вида $x_0 + k$ (где $k \in \mathbb{Z}$) также является решением.

Ответ: $\frac{2}{3} + k, \frac{\sqrt{6}}{6} + k, k \in \mathbb{Z}$.

61 Найдите $f(2001)$, если функция $f(x)$ для всех $x$ удовлетворяет уравнению:

a) $f(x + 1) = f(x) + 2x + 1$, и известно, что $f(0) = 0$;

б) $f(x + 1) = f(x) + 2x + 3$, и известно, что $f(0) = 1$.

Рассмотрим функциональное уравнение $f(x+1) = f(x) + 2x + 1$ с начальным условием $f(0) = 0$.

Данное уравнение является рекуррентным соотношением. Мы можем найти явный вид функции $f(n)$ для целых неотрицательных $n$, выразив $f(n)$ через $f(0)$ и сумму разностей. Из уравнения следует, что разность $f(k+1) - f(k) = 2k + 1$. Представим $f(n)$ в виде так называемой телескопической суммы:
$f(n) = f(0) + \sum_{k=0}^{n-1} (f(k+1) - f(k))$

Подставив в формулу известные значения из условия, получим:
$f(n) = 0 + \sum_{k=0}^{n-1} (2k+1) = \sum_{k=0}^{n-1} (2k+1)$

Вычислим полученную сумму, используя формулу суммы первых $m$ членов арифметической прогрессии и формулу суммы $m$ членов последовательности $k$: $\sum_{k=0}^{m-1} k = \frac{(m-1)m}{2}$.
$\sum_{k=0}^{n-1} (2k+1) = 2 \sum_{k=0}^{n-1} k + \sum_{k=0}^{n-1} 1 = 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} + n = n(n-1) + n = n^2 - n + n = n^2$.

Таким образом, для целых неотрицательных аргументов $x=n$, функция имеет вид $f(n) = n^2$.
Проверим правильность найденной функции:
1. Начальное условие: $f(0) = 0^2 = 0$. Верно.
2. Уравнение: $f(x+1) = (x+1)^2 = x^2+2x+1$. Правая часть исходного уравнения: $f(x)+2x+1 = x^2+2x+1$. Тождество выполняется.

Теперь, используя полученную формулу, вычислим $f(2001)$:
$f(2001) = 2001^2 = (2000+1)^2 = 2000^2 + 2 \cdot 2000 \cdot 1 + 1^2 = 4\;000\;000 + 4\;000 + 1 = 4\;004\;001$.

Ответ: $4\;004\;001$

Рассмотрим функциональное уравнение $f(x+1) = f(x) + 2x + 3$ с начальным условием $f(0) = 1$.

Будем действовать аналогично пункту а). Разность $f(k+1) - f(k) = 2k + 3$. Используем формулу с телескопической суммой:
$f(n) = f(0) + \sum_{k=0}^{n-1} (f(k+1) - f(k))$

Подставив известные значения из условия:
$f(n) = 1 + \sum_{k=0}^{n-1} (2k+3)$

Вычислим сумму:
$\sum_{k=0}^{n-1} (2k+3) = 2 \sum_{k=0}^{n-1} k + \sum_{k=0}^{n-1} 3 = 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} + 3n = n(n-1) + 3n = n^2 - n + 3n = n^2 + 2n$.

Теперь найдем явный вид функции $f(n)$:
$f(n) = 1 + (n^2 + 2n) = n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2$.
Для целых неотрицательных аргументов $x=n$, функция имеет вид $f(n) = (n+1)^2$.
Проверим правильность найденной функции:
1. Начальное условие: $f(0) = (0+1)^2 = 1^2 = 1$. Верно.
2. Уравнение: $f(x+1) = ((x+1)+1)^2 = (x+2)^2 = x^2+4x+4$. Правая часть: $f(x)+2x+3 = (x+1)^2 + 2x+3 = (x^2+2x+1)+2x+3 = x^2+4x+4$. Тождество выполняется.

Теперь, используя полученную формулу, вычислим $f(2001)$:
$f(2001) = (2001+1)^2 = 2002^2 = (2000+2)^2 = 2000^2 + 2 \cdot 2000 \cdot 2 + 2^2 = 4\;000\;000 + 8\;000 + 4 = 4\;008\;004$.

Ответ: $4\;008\;004$

Решите уравнение (62—65):

62 $\frac{8x - 3}{7} - \frac{3x + 1}{10} = 2$

62

Дано линейное уравнение с дробями:

$$ \frac{8x - 3}{7} - \frac{3x + 1}{10} = 2 $$

Чтобы избавиться от дробей, приведем левую часть уравнения к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 7 и 10 равно 70. Умножим обе части уравнения на 70:

$$ 70 \cdot \left( \frac{8x - 3}{7} - \frac{3x + 1}{10} \right) = 70 \cdot 2 $$

Применим распределительный закон умножения:

$$ \frac{70 \cdot (8x - 3)}{7} - \frac{70 \cdot (3x + 1)}{10} = 140 $$

Сократим дроби, разделив 70 на знаменатели:

$$ 10 \cdot (8x - 3) - 7 \cdot (3x + 1) = 140 $$

Теперь раскроем скобки. Важно учесть, что минус перед второй дробью меняет знаки у обоих слагаемых в скобках $(3x+1)$.

$$ 80x - 30 - 21x - 7 = 140 $$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения. Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и свободные члены:

$$ (80x - 21x) + (-30 - 7) = 140 $$

$$ 59x - 37 = 140 $$

Перенесем свободный член -37 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$$ 59x = 140 + 37 $$

$$ 59x = 177 $$

Наконец, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при переменной, то есть на 59:

$$ x = \frac{177}{59} $$

$$ x = 3 $$

Ответ: $3$.

63 $(2-3x)^2 + (1+4x)^2 = (5x+1)(5x-1).$

63

Для решения данного уравнения раскроем все скобки и приведем подобные слагаемые.

Исходное уравнение:
$(2-3x)^2 + (1+4x)^2 = (5x+1)(5x-1)$

1. В левой части уравнения раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$(2-3x)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot (3x) + (3x)^2 = 4 - 12x + 9x^2$
$(1+4x)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot (4x) + (4x)^2 = 1 + 8x + 16x^2$

2. В правой части уравнения раскроем скобки, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
$(5x+1)(5x-1) = (5x)^2 - 1^2 = 25x^2 - 1$

3. Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$(4 - 12x + 9x^2) + (1 + 8x + 16x^2) = 25x^2 - 1$

4. Сгруппируем и сложим подобные слагаемые в левой части:
$(9x^2 + 16x^2) + (-12x + 8x) + (4 + 1) = 25x^2 - 1$
$25x^2 - 4x + 5 = 25x^2 - 1$

5. Перенесем все члены с переменной в левую часть, а постоянные члены — в правую. Члены $25x^2$ в обеих частях уравнения взаимно уничтожаются.
$25x^2 - 25x^2 - 4x = -1 - 5$
$-4x = -6$

6. Найдем $x$, разделив обе части уравнения на $-4$:
$x = \frac{-6}{-4}$
$x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: $1.5$

64 a) $(21x + 44)^2 - 25(21x + 44) + 46 = 0;$

б) $(19x + 40)^2 - 23(19x + 40) + 42 = 0;$

в) $(17x + 36)^2 - 21(17x + 36) + 38 = 0;$

г) $(15x + 32)^2 - 19(15x + 32) + 34 = 0.$

а) $(21x + 44)^2 - 25(21x + 44) + 46 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно выражения $(21x + 44)$. Для его решения удобно использовать метод замены переменной. Пусть $y = 21x + 44$.

Подставив $y$ в исходное уравнение, получим стандартное квадратное уравнение:

$y^2 - 25y + 46 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 25, а произведение — 46. Этими числами являются 2 и 23.

Следовательно, корни уравнения для $y$:

$y_1 = 2$, $y_2 = 23$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$, чтобы найти $x$.

1. При $y_1 = 2$:

$21x + 44 = 2$

$21x = 2 - 44$

$21x = -42$

$x = \frac{-42}{21}$

$x_1 = -2$

2. При $y_2 = 23$:

$21x + 44 = 23$

$21x = 23 - 44$

$21x = -21$

$x = \frac{-21}{21}$

$x_2 = -1$

Ответ: $x_1 = -2$, $x_2 = -1$.

б) $(19x + 40)^2 - 23(19x + 40) + 42 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $y = 19x + 40$.

Уравнение примет вид:

$y^2 - 23y + 42 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 23, а их произведение равно 42. Легко подобрать корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = 21$, так как $2 + 21 = 23$ и $2 \cdot 21 = 42$.

Выполним обратную замену.

1. При $y_1 = 2$:

$19x + 40 = 2$

$19x = 2 - 40$

$19x = -38$

$x = \frac{-38}{19}$

$x_1 = -2$

2. При $y_2 = 21$:

$19x + 40 = 21$

$19x = 21 - 40$

$19x = -19$

$x = \frac{-19}{19}$

$x_2 = -1$

Ответ: $x_1 = -2$, $x_2 = -1$.

в) $(17x + 36)^2 - 21(17x + 36) + 38 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $y = 17x + 36$.

Уравнение примет вид:

$y^2 - 21y + 38 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 21, а произведение равно 38. Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = 19$, так как $2 + 19 = 21$ и $2 \cdot 19 = 38$.

Выполним обратную замену.

1. При $y_1 = 2$:

$17x + 36 = 2$

$17x = 2 - 36$

$17x = -34$

$x = \frac{-34}{17}$

$x_1 = -2$

2. При $y_2 = 19$:

$17x + 36 = 19$

$17x = 19 - 36$

$17x = -17$

$x = \frac{-17}{17}$

$x_2 = -1$

Ответ: $x_1 = -2$, $x_2 = -1$.

г) $(15x + 32)^2 - 19(15x + 32) + 34 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $y = 15x + 32$.

Уравнение примет вид:

$y^2 - 19y + 34 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 19, а произведение равно 34. Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = 17$, так как $2 + 17 = 19$ и $2 \cdot 17 = 34$.

Выполним обратную замену.

1. При $y_1 = 2$:

$15x + 32 = 2$

$15x = 2 - 32$

$15x = -30$

$x = \frac{-30}{15}$

$x_1 = -2$

2. При $y_2 = 17$:

$15x + 32 = 17$

$15x = 17 - 32$

$15x = -15$

$x = \frac{-15}{15}$

$x_2 = -1$

Ответ: $x_1 = -2$, $x_2 = -1$.

65 a) $(x+97)^2 + 34(x+97) + 120 = 0;$

б) $(x+79)^2 + 43(x+79) + 120 = 0;$

в) $(x+93)^2 + 35(x+93) + 150 = 0;$

г) $(x+86)^2 + 44(x+86) + 160 = 0.$

а)
Решим уравнение $(x + 97)^2 + 34(x + 97) + 120 = 0$.
Это биквадратное уравнение, которое можно решить методом замены переменной. Пусть $t = x + 97$. Тогда уравнение принимает вид:
$t^2 + 34t + 120 = 0$.
Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 34^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 1156 - 480 = 676$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$.
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-34 - 26}{2} = \frac{-60}{2} = -30$.
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-34 + 26}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.
Теперь выполним обратную замену для нахождения $x$:
1. При $t = -30$: $x + 97 = -30 \Rightarrow x = -30 - 97 = -127$.
2. При $t = -4$: $x + 97 = -4 \Rightarrow x = -4 - 97 = -101$.
Ответ: $x_1 = -127, x_2 = -101$.

б)
Решим уравнение $(x + 79)^2 + 43(x + 79) + 120 = 0$.
Введем замену переменной $t = x + 79$. Уравнение преобразуется в:
$t^2 + 43t + 120 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 43^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 1849 - 480 = 1369$.
$\sqrt{D} = \sqrt{1369} = 37$.
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-43 - 37}{2} = \frac{-80}{2} = -40$.
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-43 + 37}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.
Выполним обратную замену:
1. При $t = -40$: $x + 79 = -40 \Rightarrow x = -40 - 79 = -119$.
2. При $t = -3$: $x + 79 = -3 \Rightarrow x = -3 - 79 = -82$.
Ответ: $x_1 = -119, x_2 = -82$.

в)
Решим уравнение $(x + 93)^2 + 35(x + 93) + 150 = 0$.
Введем замену переменной $t = x + 93$. Уравнение примет вид:
$t^2 + 35t + 150 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 35^2 - 4 \cdot 1 \cdot 150 = 1225 - 600 = 625$.
$\sqrt{D} = \sqrt{625} = 25$.
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-35 - 25}{2} = \frac{-60}{2} = -30$.
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-35 + 25}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.
Выполним обратную замену:
1. При $t = -30$: $x + 93 = -30 \Rightarrow x = -30 - 93 = -123$.
2. При $t = -5$: $x + 93 = -5 \Rightarrow x = -5 - 93 = -98$.
Ответ: $x_1 = -123, x_2 = -98$.

г)
Решим уравнение $(x + 86)^2 + 44(x + 86) + 160 = 0$.
Введем замену переменной $t = x + 86$. Уравнение примет вид:
$t^2 + 44t + 160 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 44^2 - 4 \cdot 1 \cdot 160 = 1936 - 640 = 1296$.
$\sqrt{D} = \sqrt{1296} = 36$.
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-44 - 36}{2} = \frac{-80}{2} = -40$.
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-44 + 36}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.
Выполним обратную замену:
1. При $t = -40$: $x + 86 = -40 \Rightarrow x = -40 - 86 = -126$.
2. При $t = -4$: $x + 86 = -4 \Rightarrow x = -4 - 86 = -90$.
Ответ: $x_1 = -126, x_2 = -90$.

66 Докажите, что при нечётных $p$ и $q$ уравнение $x^2 + px + q = 0$ не имеет рациональных корней.

Доказательство проведём методом от противного. Предположим, что данное уравнение $x^2 + px + q = 0$ имеет хотя бы один рациональный корень.

Уравнение $x^2 + px + q = 0$ является приведённым многочленом (коэффициент при $x^2$ равен 1) с целыми коэффициентами, так как по условию $p$ и $q$ — нечётные, а значит, целые числа. Согласно теореме о рациональных корнях, если такой многочлен имеет рациональные корни, то они обязательно являются целыми числами и являются делителями свободного члена $q$.

Пусть $x=k$ — это целый корень нашего уравнения. Тогда $k$ должен быть делителем свободного члена $q$.

По условию задачи, коэффициент $q$ — нечётное число. Любой целый делитель нечётного числа также является нечётным. Следовательно, корень $k$ должен быть нечётным числом.

Теперь подставим целый корень $k$ в исходное уравнение и проанализируем чётность левой части: $$k^2 + pk + q = 0$$ Нам известно, что $p$ и $q$ — нечётные, и мы установили, что $k$ также должен быть нечётным.

Рассмотрим чётность каждого слагаемого в левой части:
• $k^2$: так как $k$ — нечётное число, его квадрат ($k \cdot k$) тоже нечётен.
• $pk$: так как $p$ и $k$ — нечётные числа, их произведение ($p \cdot k$) также нечётно.
• $q$: по условию, это нечётное число.

Таким образом, левая часть уравнения представляет собой сумму трёх нечётных чисел. Сумма двух нечётных чисел всегда даёт чётное число, а сумма чётного и нечётного числа всегда нечётна. Следовательно: $$(\text{нечётное} + \text{нечётное}) + \text{нечётное} = \text{чётное} + \text{нечётное} = \text{нечётное}$$

В результате мы получаем, что левая часть уравнения ($k^2 + pk + q$) — это нечётное число, а правая часть — это $0$, которое является чётным числом. Равенство, в котором нечётное число приравнивается к чётному, невозможно.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о существовании рационального корня было неверным.

Ответ: Доказано, что при нечётных $p$ и $q$ уравнение $x^2 + px + q = 0$ не имеет рациональных корней.

67 При каких целых значениях $k$ являются рациональными числами корни уравнения $kx^2 - (1 - 2k)x + k - 2 = 0$?

Для того чтобы корни уравнения $kx^2 - (1 - 2k)x + k - 2 = 0$ были рациональными числами, необходимо рассмотреть два случая в зависимости от значения целого параметра $k$.

Случай 1: $k = 0$

Если $k=0$, уравнение перестает быть квадратным и становится линейным:

$0 \cdot x^2 - (1 - 2 \cdot 0)x + 0 - 2 = 0$

$-x - 2 = 0$

$x = -2$

Корень $x = -2$ является рациональным числом. Следовательно, значение $k=0$ удовлетворяет условию задачи.

Случай 2: $k \neq 0$

При $k \neq 0$ уравнение является квадратным. Его коэффициенты $a=k$, $b=-(1-2k)=2k-1$ и $c=k-2$ являются целыми числами, так как по условию $k$ — целое число. Корни квадратного уравнения с целыми коэффициентами являются рациональными числами тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ является полным квадратом целого числа.

Найдем дискриминант данного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (2k-1)^2 - 4k(k-2)$

$D = (4k^2 - 4k + 1) - (4k^2 - 8k)$

$D = 4k^2 - 4k + 1 - 4k^2 + 8k$

$D = 4k + 1$

Для того чтобы корни были рациональными, необходимо, чтобы дискриминант $D = 4k + 1$ был полным квадратом. То есть, должно выполняться равенство $4k+1 = m^2$ для некоторого неотрицательного целого числа $m$.

Выразим $k$ из этого равенства:

$4k = m^2 - 1$

$k = \frac{m^2 - 1}{4}$

Поскольку $k$ должно быть целым числом, выражение $m^2 - 1$ должно быть кратно 4. Рассмотрим, каким для этого должно быть число $m$.

Если $m$ — четное число, то его можно представить в виде $m = 2n$ для некоторого целого $n$. Тогда $m^2 = (2n)^2 = 4n^2$, а $m^2 - 1 = 4n^2 - 1$. Это число при делении на 4 дает остаток -1 (или 3) и не делится на 4 нацело.

Если $m$ — нечетное число, то его можно представить в виде $m = 2n+1$ для некоторого целого $n$. Тогда $m^2 = (2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1$, а $m^2 - 1 = 4n^2 + 4n = 4n(n+1)$. Это выражение всегда делится на 4 нацело.

Следовательно, $m$ должно быть нечетным числом. Подставив $m^2-1 = 4n(n+1)$ в формулу для $k$, получаем:

$k = \frac{4n(n+1)}{4} = n(n+1)$

Таким образом, $k$ должно быть произведением двух последовательных целых чисел (такие числа называются проническими). Здесь $n$ может быть любым целым числом. Например:

• при $n=0, k = 0 \cdot 1 = 0$
• при $n=1, k = 1 \cdot 2 = 2$
• при $n=2, k = 2 \cdot 3 = 6$
• при $n=-1, k = (-1) \cdot 0 = 0$
• при $n=-2, k = (-2) \cdot (-1) = 2$

Это условие $k=n(n+1)$ включает и рассмотренный ранее случай $k=0$ (при $n=0$ или $n=-1$).

Итак, все целые значения $k$, при которых корни уравнения являются рациональными числами, должны иметь вид $n(n+1)$, где $n$ — любое целое число.

Ответ: $k=n(n+1)$, где $n \in \mathbb{Z}$ (то есть $n$ — любое целое число).

68 Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, имеющее корень:

а) $x = 4 - \sqrt{3}$;

б) $x = 2 + \sqrt{3}$.

а)

Чтобы составить квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, имея один иррациональный корень, воспользуемся свойством сопряженных корней. Если квадратный многочлен с рациональными коэффициентами имеет корень $x_1 = p + \sqrt{q}$, то он обязательно имеет и второй, сопряженный ему корень $x_2 = p - \sqrt{q}$.

В данном случае нам дан корень $x_1 = 4 - \sqrt{3}$. Следовательно, вторым корнем будет сопряженное ему число $x_2 = 4 + \sqrt{3}$.

Зная оба корня, можно составить приведенное квадратное уравнение вида $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$, используя теорему Виета.

Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = (4 - \sqrt{3}) + (4 + \sqrt{3}) = 8$.

Найдем произведение корней, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$: $x_1 \cdot x_2 = (4 - \sqrt{3})(4 + \sqrt{3}) = 4^2 - (\sqrt{3})^2 = 16 - 3 = 13$.

Теперь подставим найденные значения в формулу приведенного квадратного уравнения: $x^2 - 8x + 13 = 0$.

Коэффициенты этого уравнения $1, -8, 13$ являются рациональными числами, что удовлетворяет условию задачи.

Ответ: $x^2 - 8x + 13 = 0$.

б)

Действуем аналогично предыдущему пункту. Дан корень $x_1 = 2 + \sqrt{3}$. Так как коэффициенты уравнения должны быть рациональными, второй корень $x_2$ должен быть сопряженным первому: $x_2 = 2 - \sqrt{3}$.

Найдем сумму и произведение корней для применения теоремы Виета.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.

Составляем приведенное квадратное уравнение по формуле $x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$: $x^2 - 4x + 1 = 0$.

Полученное уравнение имеет рациональные коэффициенты $1, -4, 1$.

Ответ: $x^2 - 4x + 1 = 0$.

Решите уравнение (69—76):

69 a) $\frac{17}{5x} = 2 - \frac{7}{x}$;

б) $\frac{x-1}{x+1} - 3 \cdot \frac{x+1}{x-1} + 2 = 0$;

в) $\frac{3x-6}{2x} + \frac{4x}{x-2} - 5 = 0$;

г) $\frac{3}{x+2} - \frac{2x-1}{x+1} = \frac{2x+1}{x^2+3x+2}$;

д) $ \left(\frac{x^3+8}{x^3+4x^2+4x} - \frac{2}{x+2}\right)(x-2)^{-2} = \frac{1}{3} $.

а) $\frac{17}{5x} = 2 - \frac{7}{x}$

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны равняться нулю, поэтому $x \neq 0$.
Перенесем все члены, содержащие $x$, в левую часть уравнения:
$\frac{17}{5x} + \frac{7}{x} = 2$
Приведем дроби к общему знаменателю $5x$:
$\frac{17}{5x} + \frac{7 \cdot 5}{5x} = 2$
$\frac{17 + 35}{5x} = 2$
$\frac{52}{5x} = 2$
Умножим обе части на $5x$ (так как $x \neq 0$):
$52 = 2 \cdot 5x$
$52 = 10x$
$x = \frac{52}{10} = 5.2$
Корень $x=5.2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $5.2$

б) $\frac{x-1}{x+1} - 3 \cdot \frac{x+1}{x-1} + 2 = 0$

ОДЗ: $x+1 \neq 0$ и $x-1 \neq 0$, следовательно $x \neq -1$ и $x \neq 1$.
Это уравнение является сводящимся к квадратному. Сделаем замену переменной. Пусть $y = \frac{x-1}{x+1}$. Тогда $\frac{x+1}{x-1} = \frac{1}{y}$.
Подставим новую переменную в уравнение:
$y - 3 \cdot \frac{1}{y} + 2 = 0$
Умножим обе части уравнения на $y$ (при условии, что $y \neq 0$; если $y=0$, то $\frac{x-1}{x+1}=0 \implies x=1$, что не входит в ОДЗ):
$y^2 - 3 + 2y = 0$
$y^2 + 2y - 3 = 0$
Решим квадратное уравнение относительно $y$ с помощью теоремы Виета:
$y_1 + y_2 = -2$
$y_1 \cdot y_2 = -3$
Корни: $y_1 = 1$, $y_2 = -3$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$.
1) Если $y_1 = 1$:
$\frac{x-1}{x+1} = 1$
$x-1 = x+1$
$-1 = 1$. Это неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.
2) Если $y_2 = -3$:
$\frac{x-1}{x+1} = -3$
$x-1 = -3(x+1)$
$x-1 = -3x - 3$
$4x = -2$
$x = -\frac{2}{4} = -0.5$
Корень $x = -0.5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-0.5$

в) $\frac{3x-6}{2x} + \frac{4x}{x-2} - 5 = 0$

ОДЗ: $2x \neq 0$ и $x-2 \neq 0$, следовательно $x \neq 0$ и $x \neq 2$.
Упростим первую дробь: $\frac{3(x-2)}{2x}$.
$\frac{3(x-2)}{2x} + \frac{4x}{x-2} - 5 = 0$
Приведем все члены к общему знаменателю $2x(x-2)$:
$\frac{3(x-2)(x-2)}{2x(x-2)} + \frac{4x \cdot 2x}{2x(x-2)} - \frac{5 \cdot 2x(x-2)}{2x(x-2)} = 0$
Так как знаменатель не равен нулю в ОДЗ, можем приравнять числитель к нулю:
$3(x-2)^2 + 8x^2 - 10x(x-2) = 0$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$3(x^2 - 4x + 4) + 8x^2 - 10x^2 + 20x = 0$
$3x^2 - 12x + 12 + 8x^2 - 10x^2 + 20x = 0$
$(3+8-10)x^2 + (-12+20)x + 12 = 0$
$x^2 + 8x + 12 = 0$
Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -8$
$x_1 \cdot x_2 = 12$
Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = -6$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-6; -2$

г) $\frac{3}{x+2} - \frac{2x-1}{x+1} = \frac{2x+1}{x^2+3x+2}$

Разложим знаменатель в правой части на множители: $x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$.
ОДЗ: $x+2 \neq 0$ и $x+1 \neq 0$, следовательно $x \neq -2$ и $x \neq -1$.
Уравнение принимает вид:
$\frac{3}{x+2} - \frac{2x-1}{x+1} = \frac{2x+1}{(x+1)(x+2)}$
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x+1)(x+2)$:
$3(x+1) - (2x-1)(x+2) = 2x+1$
Раскроем скобки:
$3x+3 - (2x^2 + 4x - x - 2) = 2x+1$
$3x+3 - (2x^2 + 3x - 2) = 2x+1$
$3x+3 - 2x^2 - 3x + 2 = 2x+1$
$-2x^2 + 5 = 2x+1$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:
$0 = 2x^2 + 2x + 1 - 5$
$2x^2 + 2x - 4 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$x^2 + x - 2 = 0$
Решим по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -1$
$x_1 \cdot x_2 = -2$
Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -2$.
Проверим корни по ОДЗ. Корень $x=1$ удовлетворяет условиям. Корень $x=-2$ является посторонним, так как не входит в ОДЗ.

Ответ: $1$

д) $(\frac{x^3+8}{x^3+4x^2+4x} - \frac{2}{x+2})(x-2)^{-2} = \frac{1}{3}$

ОДЗ: $x^3+4x^2+4x \neq 0 \implies x(x^2+4x+4) \neq 0 \implies x(x+2)^2 \neq 0 \implies x \neq 0, x \neq -2$.
$x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.
$(x-2)^{-2} = \frac{1}{(x-2)^2} \implies (x-2)^2 \neq 0 \implies x \neq 2$.
Итоговая ОДЗ: $x \notin \{-2, 0, 2\}$.
Упростим выражение в скобках. Разложим числитель и знаменатель первой дроби на множители:
$x^3+8 = (x+2)(x^2-2x+4)$ (сумма кубов)
$x^3+4x^2+4x = x(x+2)^2$
$\frac{x^3+8}{x^3+4x^2+4x} = \frac{(x+2)(x^2-2x+4)}{x(x+2)^2} = \frac{x^2-2x+4}{x(x+2)}$
Теперь выполним вычитание в скобках:
$\frac{x^2-2x+4}{x(x+2)} - \frac{2}{x+2} = \frac{x^2-2x+4}{x(x+2)} - \frac{2x}{x(x+2)} = \frac{x^2-2x+4-2x}{x(x+2)} = \frac{x^2-4x+4}{x(x+2)} = \frac{(x-2)^2}{x(x+2)}$
Подставим упрощенное выражение обратно в уравнение:
$\frac{(x-2)^2}{x(x+2)} \cdot \frac{1}{(x-2)^2} = \frac{1}{3}$
Сократим дробь на $(x-2)^2$, так как $x \neq 2$ по ОДЗ:
$\frac{1}{x(x+2)} = \frac{1}{3}$
Из равенства дробей следует равенство их знаменателей:
$x(x+2) = 3$
$x^2 + 2x = 3$
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Решим по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -2$
$x_1 \cdot x_2 = -3$
Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-3; 1$