Номер 59, страница 416 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 59, страница 416.

Условие.

59 Докажите, что:

а) $p^2 > 4q$, если известно, что $1 + p + q < 0$;

б) $b^2 > 4ac$, если известно, что $(a + b + c)(a - b + c) < 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Рассмотрим квадратичную функцию $f(x) = x^2 + px + q$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1$, что больше нуля.

По условию дано неравенство $1 + p + q < 0$. Заметим, что левая часть этого неравенства является значением функции $f(x)$ в точке $x = 1$, так как $f(1) = 1^2 + p \cdot 1 + q = 1 + p + q$. Таким образом, условие задачи можно переписать как $f(1) < 0$.

Поскольку парабола $y=f(x)$ имеет ветви, направленные вверх, и принимает отрицательное значение в некоторой точке, ее вершина должна находиться ниже оси абсцисс. Следовательно, парабола пересекает ось абсцисс в двух различных точках. Это означает, что квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$ имеет два различных действительных корня.

Для того чтобы квадратное уравнение имело два различных действительных корня, его дискриминант $D$ должен быть строго положительным. Дискриминант для данного уравнения равен $D = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot q = p^2 - 4q$. Из условия $D > 0$ следует, что $p^2 - 4q > 0$, что равносильно $p^2 > 4q$.

Ответ: Доказано.

б) Рассмотрим квадратичную функцию $f(x) = ax^2 + bx + c$. По условию дано неравенство $(a + b + c)(a - b + c) < 0$.

Вычислим значения функции $f(x)$ в точках $x = 1$ и $x = -1$: $f(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c$ и $f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c$. Условие задачи можно переписать в виде $f(1) \cdot f(-1) < 0$, что означает, что значения функции в точках $x=1$ и $x=-1$ имеют разные знаки.

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $a \neq 0$. В этом случае график функции $y = f(x)$ — парабола. Если $a > 0$ (ветви вверх), то одно из значений $f(1)$ или $f(-1)$ отрицательно, следовательно, вершина параболы находится ниже оси Ox, и парабола пересекает ось в двух различных точках. Если $a < 0$ (ветви вниз), то одно из значений $f(1)$ или $f(-1)$ положительно, следовательно, вершина параболы находится выше оси Ox, и парабола также пересекает ось в двух различных точках. В обеих ситуациях уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два различных действительных корня. Это означает, что его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ должен быть строго положителен, откуда $b^2 > 4ac$.

Случай 2: $a = 0$. В этом случае доказываемое неравенство принимает вид $b^2 > 4 \cdot 0 \cdot c$, то есть $b^2 > 0$. Исходное условие при $a = 0$ превращается в $(b + c)(-b + c) < 0$, что равносильно $c^2 - b^2 < 0$, или $b^2 > c^2$. Поскольку $c^2 \ge 0$ для любого действительного $c$, то $b^2 > c^2 \ge 0$. Это означает, что $b^2$ должно быть строго положительным (равенство $b=0$ невозможно, так как это привело бы к $0 > c^2$, что неверно для действительных $c$). Таким образом, и в этом случае утверждение доказано.

Поскольку неравенство выполняется во всех рассмотренных случаях, оно доказано.

Ответ: Доказано.