Номер 64, страница 416 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 64, страница 416.

Условие.

64 a) $(21x + 44)^2 - 25(21x + 44) + 46 = 0;$

б) $(19x + 40)^2 - 23(19x + 40) + 42 = 0;$

в) $(17x + 36)^2 - 21(17x + 36) + 38 = 0;$

г) $(15x + 32)^2 - 19(15x + 32) + 34 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $(21x + 44)^2 - 25(21x + 44) + 46 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно выражения $(21x + 44)$. Для его решения удобно использовать метод замены переменной. Пусть $y = 21x + 44$.

Подставив $y$ в исходное уравнение, получим стандартное квадратное уравнение:

$y^2 - 25y + 46 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 25, а произведение — 46. Этими числами являются 2 и 23.

Следовательно, корни уравнения для $y$:

$y_1 = 2$, $y_2 = 23$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$, чтобы найти $x$.

1. При $y_1 = 2$:

$21x + 44 = 2$

$21x = 2 - 44$

$21x = -42$

$x = \frac{-42}{21}$

$x_1 = -2$

2. При $y_2 = 23$:

$21x + 44 = 23$

$21x = 23 - 44$

$21x = -21$

$x = \frac{-21}{21}$

$x_2 = -1$

Ответ: $x_1 = -2$, $x_2 = -1$.

б) $(19x + 40)^2 - 23(19x + 40) + 42 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $y = 19x + 40$.

Уравнение примет вид:

$y^2 - 23y + 42 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 23, а их произведение равно 42. Легко подобрать корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = 21$, так как $2 + 21 = 23$ и $2 \cdot 21 = 42$.

Выполним обратную замену.

1. При $y_1 = 2$:

$19x + 40 = 2$

$19x = 2 - 40$

$19x = -38$

$x = \frac{-38}{19}$

$x_1 = -2$

2. При $y_2 = 21$:

$19x + 40 = 21$

$19x = 21 - 40$

$19x = -19$

$x = \frac{-19}{19}$

$x_2 = -1$

Ответ: $x_1 = -2$, $x_2 = -1$.

в) $(17x + 36)^2 - 21(17x + 36) + 38 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $y = 17x + 36$.

Уравнение примет вид:

$y^2 - 21y + 38 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 21, а произведение равно 38. Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = 19$, так как $2 + 19 = 21$ и $2 \cdot 19 = 38$.

Выполним обратную замену.

1. При $y_1 = 2$:

$17x + 36 = 2$

$17x = 2 - 36$

$17x = -34$

$x = \frac{-34}{17}$

$x_1 = -2$

2. При $y_2 = 19$:

$17x + 36 = 19$

$17x = 19 - 36$

$17x = -17$

$x = \frac{-17}{17}$

$x_2 = -1$

Ответ: $x_1 = -2$, $x_2 = -1$.

г) $(15x + 32)^2 - 19(15x + 32) + 34 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $y = 15x + 32$.

Уравнение примет вид:

$y^2 - 19y + 34 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 19, а произведение равно 34. Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = 17$, так как $2 + 17 = 19$ и $2 \cdot 17 = 34$.

Выполним обратную замену.

1. При $y_1 = 2$:

$15x + 32 = 2$

$15x = 2 - 32$

$15x = -30$

$x = \frac{-30}{15}$

$x_1 = -2$

2. При $y_2 = 17$:

$15x + 32 = 17$

$15x = 17 - 32$

$15x = -15$

$x = \frac{-15}{15}$

$x_2 = -1$

Ответ: $x_1 = -2$, $x_2 = -1$.