Номер 70, страница 417 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 70, страница 417.

Условие.

70 a) $ \frac{x + 56}{9x^2 - 16} + \frac{1}{8 - 6x} = \frac{18}{3x^2 + 4x}; $

б) $ \frac{6}{7x - 21} - \frac{1}{x^2 - 6x + 9} + \frac{1}{x^2 - 9} = 0; $

в) $ \frac{1}{4x - 1} + \frac{2}{1 - 16x^2} + \frac{x - 3}{12x + 3} = 0; $

г) $ \frac{4}{x^2 - 10x + 25} + \frac{1}{25 - x^2} - \frac{1}{x + 5} = 0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дано уравнение: $ \frac{x + 56}{9x^2 - 16} + \frac{1}{8 - 6x} = \frac{18}{3x^2 + 4x} $

1. Разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель:

$ 9x^2 - 16 = (3x - 4)(3x + 4) $

$ 8 - 6x = 2(4 - 3x) = -2(3x - 4) $

$ 3x^2 + 4x = x(3x + 4) $

2. Перепишем уравнение с разложенными знаменателями и учтем знак во второй дроби:

$ \frac{x + 56}{(3x - 4)(3x + 4)} - \frac{1}{2(3x - 4)} = \frac{18}{x(3x + 4)} $

3. Определим область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль:

$ 3x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{4}{3} $

$ 3x + 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{4}{3} $

$ x \neq 0 $

ОДЗ: $ x \in (-\infty; -\frac{4}{3}) \cup (-\frac{4}{3}; 0) \cup (0; \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}; +\infty) $.

4. Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель $ 2x(3x - 4)(3x + 4) $, чтобы избавиться от дробей:

$ (x + 56) \cdot 2x - 1 \cdot x(3x + 4) = 18 \cdot 2(3x - 4) $

5. Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$ 2x^2 + 112x - 3x^2 - 4x = 108x - 144 $

$ -x^2 + 108x = 108x - 144 $

$ -x^2 = -144 $

$ x^2 = 144 $

$ x_1 = 12 $, $ x_2 = -12 $

6. Проверим, входят ли найденные корни в ОДЗ. Оба корня $12$ и $-12$ удовлетворяют условиям ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 12, x_2 = -12$.

б)

Дано уравнение: $ \frac{6}{7x - 21} - \frac{1}{x^2 - 6x + 9} + \frac{1}{x^2 - 9} = 0 $

1. Разложим знаменатели на множители:

$ 7x - 21 = 7(x - 3) $

$ x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 $

$ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) $

2. Перепишем уравнение:

$ \frac{6}{7(x - 3)} - \frac{1}{(x - 3)^2} + \frac{1}{(x - 3)(x + 3)} = 0 $

3. Определим ОДЗ:

$ x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 $

$ x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3 $

ОДЗ: $ x \neq \pm 3 $.

4. Умножим обе части на общий знаменатель $ 7(x - 3)^2(x + 3) $:

$ 6(x - 3)(x + 3) - 1 \cdot 7(x + 3) + 1 \cdot 7(x - 3) = 0 $

5. Раскроем скобки и решим уравнение:

$ 6(x^2 - 9) - 7x - 21 + 7x - 21 = 0 $

$ 6x^2 - 54 - 42 = 0 $

$ 6x^2 - 96 = 0 $

$ 6x^2 = 96 $

$ x^2 = 16 $

$ x_1 = 4 $, $ x_2 = -4 $

6. Оба корня $4$ и $-4$ входят в ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 4, x_2 = -4$.

в)

Дано уравнение: $ \frac{1}{4x - 1} + \frac{2}{1 - 16x^2} + \frac{x - 3}{12x + 3} = 0 $

1. Разложим знаменатели на множители:

$ 4x - 1 $

$ 1 - 16x^2 = (1 - 4x)(1 + 4x) = -(4x - 1)(4x + 1) $

$ 12x + 3 = 3(4x + 1) $

2. Перепишем уравнение:

$ \frac{1}{4x - 1} - \frac{2}{(4x - 1)(4x + 1)} + \frac{x - 3}{3(4x + 1)} = 0 $

3. Определим ОДЗ:

$ 4x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{4} $

$ 4x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{1}{4} $

ОДЗ: $ x \neq \pm \frac{1}{4} $.

4. Умножим обе части на общий знаменатель $ 3(4x - 1)(4x + 1) $:

$ 1 \cdot 3(4x + 1) - 2 \cdot 3 + (x - 3)(4x - 1) = 0 $

5. Раскроем скобки и решим уравнение:

$ 12x + 3 - 6 + 4x^2 - x - 12x + 3 = 0 $

$ 4x^2 - x = 0 $

$ x(4x - 1) = 0 $

$ x_1 = 0 $ или $ 4x - 1 = 0 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{4} $

6. Проверим корни. Корень $ x_1 = 0 $ входит в ОДЗ. Корень $ x_2 = \frac{1}{4} $ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатели $4x-1$ и $1-16x^2$ обращаются в ноль. Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: $x = 0$.

г)

Дано уравнение: $ \frac{4}{x^2 - 10x + 25} + \frac{1}{25 - x^2} - \frac{1}{x + 5} = 0 $

1. Разложим знаменатели на множители:

$ x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2 $

$ 25 - x^2 = (5 - x)(5 + x) = -(x - 5)(x + 5) $

$ x + 5 $

2. Перепишем уравнение:

$ \frac{4}{(x - 5)^2} - \frac{1}{(x - 5)(x + 5)} - \frac{1}{x + 5} = 0 $

3. Определим ОДЗ:

$ x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5 $

$ x + 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5 $

ОДЗ: $ x \neq \pm 5 $.

4. Умножим обе части на общий знаменатель $ (x - 5)^2(x + 5) $:

$ 4(x + 5) - 1(x - 5) - 1(x - 5)^2 = 0 $

5. Раскроем скобки и решим уравнение:

$ 4x + 20 - x + 5 - (x^2 - 10x + 25) = 0 $

$ 3x + 25 - x^2 + 10x - 25 = 0 $

$ -x^2 + 13x = 0 $

$ -x(x - 13) = 0 $

$ x_1 = 0 $, $ x_2 = 13 $

6. Оба корня $0$ и $13$ входят в ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 13$.