Номер 76, страница 417 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 76, страница 417.

Условие.

76 a) $(10x - 5)^2 (10x - 4)(10x - 6) = 72;$

б) $(3x + 5) \left(\frac{1}{2} x + 1\right)^2 (3x + 7) = \frac{1}{3}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a) $(10x - 5)^2 (10x - 4)(10x - 6) = 72;

Заметим, что выражения в скобках похожи. Центром для выражений $10x - 4$ и $10x - 6$ является $10x - 5$. Введем замену переменной, чтобы упростить уравнение.

Пусть $y = 10x - 5$. Тогда:

$10x - 4 = (10x - 5) + 1 = y + 1$

$10x - 6 = (10x - 5) - 1 = y - 1$

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$y^2 (y + 1)(y - 1) = 72$

Воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$y^2 (y^2 - 1) = 72$

Раскроем скобки:

$y^4 - y^2 = 72$

$y^4 - y^2 - 72 = 0$

Получили биквадратное уравнение. Сделаем еще одну замену: пусть $z = y^2$. Так как $y^2 \ge 0$, то и $z \ge 0$.

$z^2 - z - 72 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $z$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289 = 17^2$

$z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 17}{2}$

$z_1 = \frac{1 + 17}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$z_2 = \frac{1 - 17}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Корень $z_2 = -8$ не удовлетворяет условию $z \ge 0$, поэтому отбрасываем его.

Вернемся к замене $z = y^2$:

$y^2 = 9$

Отсюда $y_1 = 3$ и $y_2 = -3$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, используя замену $y = 10x - 5$.

1) Если $y = 3$:

$10x - 5 = 3$

$10x = 8$

$x = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} = 0.8$

2) Если $y = -3$:

$10x - 5 = -3$

$10x = 2$

$x = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 0.2$

Ответ: $x = 0.2; x = 0.8$

б) $(3x + 5)(\frac{1}{2}x + 1)^2 (3x + 7) = \frac{1}{3}$.

Преобразуем выражение в средней скобке, чтобы оно стало похоже на остальные множители. Вынесем $\frac{1}{6}$ за скобки:

$\frac{1}{2}x + 1 = \frac{1}{6}(3x + 6)$

Тогда квадрат этого выражения равен:

$(\frac{1}{2}x + 1)^2 = \left(\frac{1}{6}(3x + 6)\right)^2 = \frac{1}{36}(3x + 6)^2$

Подставим это в исходное уравнение:

$(3x + 5) \cdot \frac{1}{36}(3x + 6)^2 \cdot (3x + 7) = \frac{1}{3}$

Умножим обе части уравнения на 36, чтобы избавиться от дроби:

$(3x + 5)(3x + 6)^2 (3x + 7) = \frac{36}{3}$

$(3x + 5)(3x + 6)^2 (3x + 7) = 12$

Видим, что выражения в скобках последовательны. Введем замену. Пусть $y = 3x + 6$. Тогда:

$3x + 5 = (3x + 6) - 1 = y - 1$

$3x + 7 = (3x + 6) + 1 = y + 1$

Подставим новую переменную в преобразованное уравнение:

$(y - 1)y^2 (y + 1) = 12$

Используем формулу разности квадратов:

$(y^2 - 1)y^2 = 12$

$y^4 - y^2 = 12$

$y^4 - y^2 - 12 = 0$

Снова получили биквадратное уравнение. Сделаем замену $z = y^2$, где $z \ge 0$.

$z^2 - z - 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2$

$z_{1,2} = \frac{1 \pm 7}{2}$

$z_1 = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$z_2 = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Корень $z_2 = -3$ не удовлетворяет условию $z \ge 0$.

Вернемся к замене $z = y^2$:

$y^2 = 4$

Отсюда $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, используя замену $y = 3x + 6$.

1) Если $y = 2$:

$3x + 6 = 2$

$3x = -4$

$x = -\frac{4}{3}$

2) Если $y = -2$:

$3x + 6 = -2$

$3x = -8$

$x = -\frac{8}{3}$

Ответ: $x = -\frac{8}{3}; x = -\frac{4}{3}$