Номер 80, страница 418 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Тип: Учебник

Серия: мгу - школе

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой в сеточку

ISBN: 978-5-09-087641-4

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 11 классе

Задания для повторения - номер 80, страница 418.

№80 (с. 418)
Условие. №80 (с. 418)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 418, номер 80, Условие

80 a) $x+1=2-\sqrt{x-1}$;

б) $1-\sqrt{x-2}=x-1.$

Решение 1. №80 (с. 418)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 418, номер 80, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 418, номер 80, Решение 1 (продолжение 2)
Решение 2. №80 (с. 418)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 418, номер 80, Решение 2 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 418, номер 80, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 4. №80 (с. 418)

а)

Дано иррациональное уравнение: $x + 1 = 2 - \sqrt{x - 1}$.

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$x - 1 \ge 0$

$x \ge 1$

Для решения этого уравнения удобно использовать метод введения новой переменной. Пусть $t = \sqrt{x - 1}$. Исходя из определения арифметического квадратного корня, должно выполняться условие $t \ge 0$.

Возведем равенство $t = \sqrt{x - 1}$ в квадрат, чтобы выразить $x$ через $t$:

$t^2 = x - 1$

$x = t^2 + 1$

Теперь подставим выражения для $x$ и $\sqrt{x - 1}$ в исходное уравнение:

$(t^2 + 1) + 1 = 2 - t$

Упростим полученное квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + 2 = 2 - t$

$t^2 + t = 0$

Вынесем общий множитель $t$ за скобки:

$t(t + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $t$:

$t_1 = 0$ или $t_2 = -1$.

Сравним найденные корни с условием $t \ge 0$. Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет этому условию, следовательно, он является посторонним. Единственный подходящий корень — это $t_1 = 0$.

Выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

$\sqrt{x - 1} = 0$

Возведем обе части в квадрат:

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Найденный корень $x = 1$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 1$).

Выполним проверку, подставив $x = 1$ в исходное уравнение:

$1 + 1 = 2 - \sqrt{1 - 1}$

$2 = 2 - \sqrt{0}$

$2 = 2$

Равенство верное, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: 1.

б)

Дано иррациональное уравнение: $1 - \sqrt{x - 2} = x - 1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x - 2 \ge 0$

$x \ge 2$

Воспользуемся методом введения новой переменной. Пусть $t = \sqrt{x - 2}$. По определению корня, $t \ge 0$.

Выразим $x$ через $t$:

$t^2 = x - 2$

$x = t^2 + 2$

Подставим новые выражения в исходное уравнение:

$1 - t = (t^2 + 2) - 1$

Упростим уравнение:

$1 - t = t^2 + 1$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = t^2 + t$

$t(t + 1) = 0$

Получаем два возможных корня для $t$:

$t_1 = 0$ или $t_2 = -1$.

Учитывая условие $t \ge 0$, корень $t_2 = -1$ является посторонним. Остается единственный корень $t_1 = 0$.

Теперь выполним обратную замену:

$\sqrt{x - 2} = 0$

Возведем обе части в квадрат:

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Найденный корень $x = 2$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 2$).

Проведем проверку, подставив $x = 2$ в исходное уравнение:

$1 - \sqrt{2 - 2} = 2 - 1$

$1 - \sqrt{0} = 1$

$1 - 0 = 1$

$1 = 1$

Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: 2.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 80 расположенного на странице 418 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №80 (с. 418), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.