Номер 80, страница 418 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Задания для повторения - номер 80, страница 418.
№80 (с. 418)
Условие. №80 (с. 418)
скриншот условия

80 a) $x+1=2-\sqrt{x-1}$;
б) $1-\sqrt{x-2}=x-1.$
Решение 1. №80 (с. 418)


Решение 2. №80 (с. 418)


Решение 4. №80 (с. 418)
а)
Дано иррациональное уравнение: $x + 1 = 2 - \sqrt{x - 1}$.
Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x - 1 \ge 0$
$x \ge 1$
Для решения этого уравнения удобно использовать метод введения новой переменной. Пусть $t = \sqrt{x - 1}$. Исходя из определения арифметического квадратного корня, должно выполняться условие $t \ge 0$.
Возведем равенство $t = \sqrt{x - 1}$ в квадрат, чтобы выразить $x$ через $t$:
$t^2 = x - 1$
$x = t^2 + 1$
Теперь подставим выражения для $x$ и $\sqrt{x - 1}$ в исходное уравнение:
$(t^2 + 1) + 1 = 2 - t$
Упростим полученное квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 + 2 = 2 - t$
$t^2 + t = 0$
Вынесем общий множитель $t$ за скобки:
$t(t + 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $t$:
$t_1 = 0$ или $t_2 = -1$.
Сравним найденные корни с условием $t \ge 0$. Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет этому условию, следовательно, он является посторонним. Единственный подходящий корень — это $t_1 = 0$.
Выполним обратную замену, чтобы найти $x$:
$\sqrt{x - 1} = 0$
Возведем обе части в квадрат:
$x - 1 = 0$
$x = 1$
Найденный корень $x = 1$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 1$).
Выполним проверку, подставив $x = 1$ в исходное уравнение:
$1 + 1 = 2 - \sqrt{1 - 1}$
$2 = 2 - \sqrt{0}$
$2 = 2$
Равенство верное, следовательно, решение найдено правильно.
Ответ: 1.
б)
Дано иррациональное уравнение: $1 - \sqrt{x - 2} = x - 1$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x - 2 \ge 0$
$x \ge 2$
Воспользуемся методом введения новой переменной. Пусть $t = \sqrt{x - 2}$. По определению корня, $t \ge 0$.
Выразим $x$ через $t$:
$t^2 = x - 2$
$x = t^2 + 2$
Подставим новые выражения в исходное уравнение:
$1 - t = (t^2 + 2) - 1$
Упростим уравнение:
$1 - t = t^2 + 1$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = t^2 + t$
$t(t + 1) = 0$
Получаем два возможных корня для $t$:
$t_1 = 0$ или $t_2 = -1$.
Учитывая условие $t \ge 0$, корень $t_2 = -1$ является посторонним. Остается единственный корень $t_1 = 0$.
Теперь выполним обратную замену:
$\sqrt{x - 2} = 0$
Возведем обе части в квадрат:
$x - 2 = 0$
$x = 2$
Найденный корень $x = 2$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 2$).
Проведем проверку, подставив $x = 2$ в исходное уравнение:
$1 - \sqrt{2 - 2} = 2 - 1$
$1 - \sqrt{0} = 1$
$1 - 0 = 1$
$1 = 1$
Равенство верное, значит, корень найден правильно.
Ответ: 2.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 80 расположенного на странице 418 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №80 (с. 418), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.