Номер 80, страница 418 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 80, страница 418.

Условие.

80 a) $x+1=2-\sqrt{x-1}$;

б) $1-\sqrt{x-2}=x-1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дано иррациональное уравнение: $x + 1 = 2 - \sqrt{x - 1}$.

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$x - 1 \ge 0$

$x \ge 1$

Для решения этого уравнения удобно использовать метод введения новой переменной. Пусть $t = \sqrt{x - 1}$. Исходя из определения арифметического квадратного корня, должно выполняться условие $t \ge 0$.

Возведем равенство $t = \sqrt{x - 1}$ в квадрат, чтобы выразить $x$ через $t$:

$t^2 = x - 1$

$x = t^2 + 1$

Теперь подставим выражения для $x$ и $\sqrt{x - 1}$ в исходное уравнение:

$(t^2 + 1) + 1 = 2 - t$

Упростим полученное квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + 2 = 2 - t$

$t^2 + t = 0$

Вынесем общий множитель $t$ за скобки:

$t(t + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $t$:

$t_1 = 0$ или $t_2 = -1$.

Сравним найденные корни с условием $t \ge 0$. Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет этому условию, следовательно, он является посторонним. Единственный подходящий корень — это $t_1 = 0$.

Выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

$\sqrt{x - 1} = 0$

Возведем обе части в квадрат:

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Найденный корень $x = 1$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 1$).

Выполним проверку, подставив $x = 1$ в исходное уравнение:

$1 + 1 = 2 - \sqrt{1 - 1}$

$2 = 2 - \sqrt{0}$

$2 = 2$

Равенство верное, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: 1.

б)

Дано иррациональное уравнение: $1 - \sqrt{x - 2} = x - 1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x - 2 \ge 0$

$x \ge 2$

Воспользуемся методом введения новой переменной. Пусть $t = \sqrt{x - 2}$. По определению корня, $t \ge 0$.

Выразим $x$ через $t$:

$t^2 = x - 2$

$x = t^2 + 2$

Подставим новые выражения в исходное уравнение:

$1 - t = (t^2 + 2) - 1$

Упростим уравнение:

$1 - t = t^2 + 1$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = t^2 + t$

$t(t + 1) = 0$

Получаем два возможных корня для $t$:

$t_1 = 0$ или $t_2 = -1$.

Учитывая условие $t \ge 0$, корень $t_2 = -1$ является посторонним. Остается единственный корень $t_1 = 0$.

Теперь выполним обратную замену:

$\sqrt{x - 2} = 0$

Возведем обе части в квадрат:

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Найденный корень $x = 2$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 2$).

Проведем проверку, подставив $x = 2$ в исходное уравнение:

$1 - \sqrt{2 - 2} = 2 - 1$

$1 - \sqrt{0} = 1$

$1 - 0 = 1$

$1 = 1$

Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: 2.