Номер 82, страница 418 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 82, страница 418.

Условие.

82 a) $\sqrt{3x - 5} = 3 - 2x;$

б) $\sqrt{4x^2 + 4x + 1} = x^2 + x - 1;$

В) $\sqrt{x^2 + x + 4} + \sqrt{x^2 + x + 1} = \sqrt{2x^2 + 2x + 9};$

Г) $\sqrt[4]{629 - x} + \sqrt[4]{77 + x} = 8.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\sqrt{3x - 5} = 3 - 2x$
Для решения иррационального уравнения необходимо, чтобы обе его части были определены и чтобы правая часть была неотрицательна. Это приводит к системе неравенств, определяющей область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} 3x - 5 \ge 0 \\ 3 - 2x \ge 0 \end{cases}$
Решим каждое неравенство:
1) $3x \ge 5 \implies x \ge \frac{5}{3}$
2) $3 \ge 2x \implies x \le \frac{3}{2}$
Получаем систему: $\begin{cases} x \ge \frac{5}{3} \\ x \le \frac{3}{2} \end{cases}$.
Так как $\frac{5}{3} \approx 1.67$, а $\frac{3}{2} = 1.5$, и $1.67 > 1.5$, то система не имеет решений. Это означает, что не существует такого значения $x$, при котором уравнение было бы корректным.

Альтернативный способ — решить уравнение, а затем проверить корни.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{3x - 5})^2 = (3 - 2x)^2$
$3x - 5 = 9 - 12x + 4x^2$
Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:
$4x^2 - 12x - 3x + 9 + 5 = 0$
$4x^2 - 15x + 14 = 0$
Решим через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 14 = 225 - 224 = 1$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 1}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 1}{2 \cdot 4} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4}$
Проверим найденные корни, подставив их в исходное уравнение.
Для $x_1 = 2$:
$\sqrt{3(2) - 5} = \sqrt{6 - 5} = \sqrt{1} = 1$
$3 - 2(2) = 3 - 4 = -1$
Получили $1 = -1$, что неверно. Корень $x=2$ является посторонним.
Для $x_2 = \frac{7}{4}$:
$\sqrt{3(\frac{7}{4}) - 5} = \sqrt{\frac{21}{4} - \frac{20}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
$3 - 2(\frac{7}{4}) = 3 - \frac{7}{2} = \frac{6 - 7}{2} = -\frac{1}{2}$
Получили $\frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$, что неверно. Корень $x=\frac{7}{4}$ также является посторонним.
Таким образом, уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений.

б) $\sqrt{4x^2 + 4x + 1} = x^2 + x - 1$
Выражение под корнем $4x^2 + 4x + 1$ является полным квадратом $(2x + 1)^2$.
Уравнение можно переписать в виде:
$\sqrt{(2x + 1)^2} = x^2 + x - 1$
$|2x + 1| = x^2 + x - 1$
Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна модулю: $x^2 + x - 1 \ge 0$.
Найдем корни $x^2 + x - 1 = 0$: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Неравенство $x^2 + x - 1 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}, +\infty)$.
Раскроем модуль, рассмотрев два случая:
1) Если $2x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -0.5$.
Уравнение принимает вид: $2x + 1 = x^2 + x - 1$
$x^2 - x - 2 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Проверяем корни по условию $x \ge -0.5$.
$x_1 = 2$: $2 \ge -0.5$ (верно). Также $2$ входит в ОДЗ: $2 > \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0.618$. Следовательно, $x=2$ — корень.
$x_2 = -1$: $-1 < -0.5$ (неверно). Этот корень не подходит для данного случая.
2) Если $2x + 1 < 0$, то есть $x < -0.5$.
Уравнение принимает вид: $-(2x + 1) = x^2 + x - 1$
$-2x - 1 = x^2 + x - 1$
$x^2 + 3x = 0$
$x(x + 3) = 0$
Корни $x_3 = 0$ и $x_4 = -3$.
Проверяем корни по условию $x < -0.5$.
$x_3 = 0$: $0$ не меньше $-0.5$ (неверно).
$x_4 = -3$: $-3 < -0.5$ (верно). Также $-3$ входит в ОДЗ: $-3 < \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx -1.618$. Следовательно, $x=-3$ — корень.
Объединяя результаты, получаем два решения.
Ответ: $x = -3, x = 2$.

в) $\sqrt{x^2 + x + 4} + \sqrt{x^2 + x + 1} = \sqrt{2x^2 + 2x + 9}$
Во всех подкоренных выражениях присутствует $x^2 + x$. Сделаем замену переменной: $t = x^2 + x$.
Уравнение преобразуется к виду:
$\sqrt{t + 4} + \sqrt{t + 1} = \sqrt{2(x^2 + x) + 9} = \sqrt{2t + 9}$
ОДЗ для $t$: $\begin{cases} t + 4 \ge 0 \\ t + 1 \ge 0 \\ 2t + 9 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} t \ge -4 \\ t \ge -1 \\ t \ge -4.5 \end{cases}$. Отсюда $t \ge -1$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{t + 4} + \sqrt{t + 1})^2 = (\sqrt{2t + 9})^2$
$(t + 4) + 2\sqrt{(t+4)(t+1)} + (t + 1) = 2t + 9$
$2t + 5 + 2\sqrt{t^2 + 5t + 4} = 2t + 9$
$2\sqrt{t^2 + 5t + 4} = 4$
$\sqrt{t^2 + 5t + 4} = 2$
Еще раз возведем в квадрат:
$t^2 + 5t + 4 = 4$
$t^2 + 5t = 0$
$t(t + 5) = 0$
Возможные значения $t_1 = 0$, $t_2 = -5$.
Проверим по ОДЗ ($t \ge -1$):
$t_1 = 0$ подходит, так как $0 \ge -1$.
$t_2 = -5$ не подходит, так как $-5 < -1$.
Итак, единственное решение для $t$ это $t = 0$.
Сделаем обратную замену: $x^2 + x = 0$.
$x(x + 1) = 0$
Отсюда $x_1 = 0$, $x_2 = -1$.
Все исходные подкоренные выражения положительны при любых $x$, так как их дискриминанты отрицательны. Поэтому оба найденных значения являются решениями.
Ответ: $x = -1, x = 0$.

г) $\sqrt[4]{629 - x} + \sqrt[4]{77 + x} = 8$
ОДЗ: $\begin{cases} 629 - x \ge 0 \\ 77 + x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 629 \\ x \ge -77 \end{cases}$, то есть $-77 \le x \le 629$.
Введем замены: $a = \sqrt[4]{629 - x}$ и $b = \sqrt[4]{77 + x}$. По определению корня четной степени, $a \ge 0$ и $b \ge 0$.
Исходное уравнение принимает вид: $a + b = 8$.
Возведем наши замены в 4-ю степень и сложим их:
$a^4 = 629 - x$
$b^4 = 77 + x$
$a^4 + b^4 = (629 - x) + (77 + x) = 706$.
Получаем систему из двух уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} a + b = 8 \\ a^4 + b^4 = 706 \end{cases}$
Выразим $a^4 + b^4$ через элементарные симметрические многочлены $a+b$ и $ab$.
$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 8^2 - 2ab = 64 - 2ab$.
$a^4 + b^4 = (a^2+b^2)^2 - 2a^2b^2 = (64-2ab)^2 - 2(ab)^2 = 706$.
Пусть $p=ab$. Получаем уравнение для $p$:
$(64 - 2p)^2 - 2p^2 = 706$
$4096 - 256p + 4p^2 - 2p^2 = 706$
$2p^2 - 256p + 3390 = 0$
$p^2 - 128p + 1695 = 0$
Дискриминант $D = (-128)^2 - 4(1)(1695) = 16384 - 6780 = 9604 = 98^2$.
$p_1 = \frac{128 - 98}{2} = 15$
$p_2 = \frac{128 + 98}{2} = 113$
Рассмотрим два случая:
1) $ab = 15$. Система $\begin{cases} a+b=8 \\ ab=15 \end{cases}$ по теореме Виета дает решения $\{a, b\} = \{3, 5\}$.
2) $ab = 113$. Система $\begin{cases} a+b=8 \\ ab=113 \end{cases}$ приводит к квадратному уравнению $z^2-8z+113=0$, у которого дискриминант $D=64-4(113) < 0$, то есть действительных решений нет.
Значит, у нас есть две пары решений для $(a, b)$: $(3, 5)$ и $(5, 3)$.
Вернемся к переменной $x$:
- Если $a=3, b=5$: $\sqrt[4]{629 - x} = 3 \implies 629 - x = 81 \implies x = 548$. Проверка: $\sqrt[4]{77+548} = \sqrt[4]{625}=5$. Верно.
- Если $a=5, b=3$: $\sqrt[4]{629 - x} = 5 \implies 629 - x = 625 \implies x = 4$. Проверка: $\sqrt[4]{77+4} = \sqrt[4]{81}=3$. Верно.
Оба значения $x=548$ и $x=4$ принадлежат ОДЗ.
Ответ: $x = 4, x = 548$.