Номер 75, страница 417 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 75, страница 417.

Условие.

75 a) $\frac{1}{(3x + 5)(x - 1)} + \frac{7}{(x + 7)(x - 1)} = \frac{1}{x - 1};$

б) $\frac{4}{(4x + 3)(x - 1)} + \frac{17}{(2x + 5)(x - 1)} = \frac{3}{x - 1};$

в) $\frac{3}{(2x + 7)(x - 1)} + \frac{2}{(4x - 1)(x - 1)} = \frac{1}{x - 1};$

г) $\frac{3}{(4x + 5)(x - 1)} + \frac{5}{(x + 2)(x - 1)} = \frac{2}{x - 1}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $ \frac{1}{(3x + 5)(x - 1)} + \frac{7}{(x + 7)(x - 1)} = \frac{1}{x - 1} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю, поэтому:
$ 3x + 5 \neq 0 \implies x \neq -\frac{5}{3} $
$ x + 7 \neq 0 \implies x \neq -7 $
$ x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1 $
Таким образом, ОДЗ: $ x \in (-\infty; -7) \cup (-7; -\frac{5}{3}) \cup (-\frac{5}{3}; 1) \cup (1; +\infty) $.

Умножим обе части уравнения на общий множитель $ (x - 1) $, так как из ОДЗ известно, что $ x \neq 1 $:
$ \frac{1}{3x + 5} + \frac{7}{x + 7} = 1 $

Приведем левую часть к общему знаменателю $ (3x + 5)(x + 7) $:
$ \frac{1 \cdot (x + 7) + 7 \cdot (3x + 5)}{(3x + 5)(x + 7)} = 1 $
$ x + 7 + 21x + 35 = (3x + 5)(x + 7) $

Раскроем скобки и упростим выражение:
$ 22x + 42 = 3x^2 + 21x + 5x + 35 $
$ 22x + 42 = 3x^2 + 26x + 35 $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$ 3x^2 + 26x - 22x + 35 - 42 = 0 $
$ 3x^2 + 4x - 7 = 0 $

Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100 = 10^2 $
$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 $
$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3} $

Проверим корни на соответствие ОДЗ.
$ x_1 = 1 $ не удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 1 $), следовательно, это посторонний корень.
$ x_2 = -\frac{7}{3} $ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $ -\frac{7}{3} $

б) $ \frac{4}{(4x + 3)(x - 1)} + \frac{17}{(2x + 5)(x - 1)} = \frac{3}{x - 1} $

ОДЗ: $ 4x + 3 \neq 0 \implies x \neq -\frac{3}{4} $; $ 2x + 5 \neq 0 \implies x \neq -\frac{5}{2} $; $ x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1 $.

Умножим обе части уравнения на $ (x - 1) $, так как $ x \neq 1 $:
$ \frac{4}{4x + 3} + \frac{17}{2x + 5} = 3 $

Приведем к общему знаменателю $ (4x + 3)(2x + 5) $:
$ \frac{4(2x + 5) + 17(4x + 3)}{(4x + 3)(2x + 5)} = 3 $
$ 4(2x + 5) + 17(4x + 3) = 3(4x + 3)(2x + 5) $

Раскроем скобки:
$ 8x + 20 + 68x + 51 = 3(8x^2 + 20x + 6x + 15) $
$ 76x + 71 = 3(8x^2 + 26x + 15) $
$ 76x + 71 = 24x^2 + 78x + 45 $

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:
$ 24x^2 + 78x - 76x + 45 - 71 = 0 $
$ 24x^2 + 2x - 26 = 0 $
Разделим уравнение на 2: $ 12x^2 + x - 13 = 0 $

Решим уравнение:
$ D = 1^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-13) = 1 + 624 = 625 = 25^2 $
$ x_1 = \frac{-1 + 25}{2 \cdot 12} = \frac{24}{24} = 1 $
$ x_2 = \frac{-1 - 25}{2 \cdot 12} = \frac{-26}{24} = -\frac{13}{12} $

$ x_1 = 1 $ — посторонний корень (не входит в ОДЗ).
$ x_2 = -\frac{13}{12} $ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $ -\frac{13}{12} $

в) $ \frac{3}{(2x + 7)(x - 1)} + \frac{2}{(4x - 1)(x - 1)} = \frac{1}{x - 1} $

ОДЗ: $ 2x + 7 \neq 0 \implies x \neq -\frac{7}{2} $; $ 4x - 1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{4} $; $ x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1 $.

Умножим обе части на $ (x - 1) $:
$ \frac{3}{2x + 7} + \frac{2}{4x - 1} = 1 $

Приведем к общему знаменателю $ (2x + 7)(4x - 1) $:
$ 3(4x - 1) + 2(2x + 7) = (2x + 7)(4x - 1) $

Раскроем скобки и упростим:
$ 12x - 3 + 4x + 14 = 8x^2 - 2x + 28x - 7 $
$ 16x + 11 = 8x^2 + 26x - 7 $

Приведем к квадратному уравнению:
$ 8x^2 + 26x - 16x - 7 - 11 = 0 $
$ 8x^2 + 10x - 18 = 0 $
Разделим уравнение на 2: $ 4x^2 + 5x - 9 = 0 $

Решим уравнение:
$ D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 25 + 144 = 169 = 13^2 $
$ x_1 = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1 $
$ x_2 = \frac{-5 - 13}{2 \cdot 4} = \frac{-18}{8} = -\frac{9}{4} $

$ x_1 = 1 $ — посторонний корень (не входит в ОДЗ).
$ x_2 = -\frac{9}{4} $ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $ -\frac{9}{4} $

г) $ \frac{3}{(4x + 5)(x - 1)} + \frac{5}{(x + 2)(x - 1)} = \frac{2}{x - 1} $

ОДЗ: $ 4x + 5 \neq 0 \implies x \neq -\frac{5}{4} $; $ x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2 $; $ x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1 $.

Умножим обе части на $ (x - 1) $:
$ \frac{3}{4x + 5} + \frac{5}{x + 2} = 2 $

Приведем к общему знаменателю $ (4x + 5)(x + 2) $:
$ 3(x + 2) + 5(4x + 5) = 2(4x + 5)(x + 2) $

Раскроем скобки и упростим:
$ 3x + 6 + 20x + 25 = 2(4x^2 + 8x + 5x + 10) $
$ 23x + 31 = 2(4x^2 + 13x + 10) $
$ 23x + 31 = 8x^2 + 26x + 20 $

Приведем к квадратному уравнению:
$ 8x^2 + 26x - 23x + 20 - 31 = 0 $
$ 8x^2 + 3x - 11 = 0 $

Решим уравнение:
$ D = 3^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-11) = 9 + 352 = 361 = 19^2 $
$ x_1 = \frac{-3 + 19}{2 \cdot 8} = \frac{16}{16} = 1 $
$ x_2 = \frac{-3 - 19}{2 \cdot 8} = \frac{-22}{16} = -\frac{11}{8} $

$ x_1 = 1 $ — посторонний корень (не входит в ОДЗ).
$ x_2 = -\frac{11}{8} $ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $ -\frac{11}{8} $