Номер 79, страница 418 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 79, страница 418.

Условие.

79. а) $\sqrt{3x+3}=2x-3;$

б) $\sqrt{3x+2}=2x-4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дано иррациональное уравнение: $ \sqrt{3x+3} = 2x-3 $.

Для решения уравнения такого вида необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ), а затем возвести обе части в квадрат. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения также должна быть неотрицательной, так как она равна значению арифметического квадратного корня.

Составим систему неравенств для ОДЗ:

$ \begin{cases} 3x+3 \ge 0 \\ 2x-3 \ge 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство в системе:

1) $ 3x \ge -3 \implies x \ge -1 $

2) $ 2x \ge 3 \implies x \ge \frac{3}{2} $ или $ x \ge 1.5 $

Общим решением системы является пересечение этих условий, то есть $ x \ge 1.5 $. Это и есть ОДЗ для нашего уравнения.

Теперь, когда ОДЗ найдена, возведем обе части исходного уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:

$ (\sqrt{3x+3})^2 = (2x-3)^2 $

Используя формулу квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $ для правой части, получаем:

$ 3x+3 = 4x^2 - 12x + 9 $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ ax^2 + bx + c = 0 $:

$ 4x^2 - 12x - 3x + 9 - 3 = 0 $

$ 4x^2 - 15x + 6 = 0 $

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Здесь коэффициенты $ a=4, b=-15, c=6 $.

$ D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 6 = 225 - 96 = 129 $

Так как $ D > 0 $, уравнение имеет два действительных корня, которые вычисляются по формуле:

$ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $

$ x_1 = \frac{15 - \sqrt{129}}{8} $

$ x_2 = \frac{15 + \sqrt{129}}{8} $

Теперь необходимо проверить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($ x \ge 1.5 $).

Проверка для $ x_1 = \frac{15 - \sqrt{129}}{8} $. Оценим значение $ \sqrt{129} $. Мы знаем, что $ 11^2 = 121 $ и $ 12^2 = 144 $, следовательно, $ 11 < \sqrt{129} < 12 $. Тогда числитель $ 15 - \sqrt{129} $ находится в интервале $ (15-12, 15-11) $, то есть $ (3, 4) $. Значит, $ x_1 $ находится в интервале $ (\frac{3}{8}, \frac{4}{8}) $, то есть $ (0.375, 0.5) $. Это значение меньше, чем $ 1.5 $, поэтому корень $ x_1 $ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.

Проверка для $ x_2 = \frac{15 + \sqrt{129}}{8} $. Используя ту же оценку, числитель $ 15 + \sqrt{129} $ находится в интервале $ (15+11, 15+12) $, то есть $ (26, 27) $. Значит, $ x_2 $ находится в интервале $ (\frac{26}{8}, \frac{27}{8}) $, то есть $ (3.25, 3.375) $. Это значение больше, чем $ 1.5 $, поэтому корень $ x_2 $ удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $ \frac{15+\sqrt{129}}{8} $.

б)

Дано иррациональное уравнение: $ \sqrt{3x+2} = 2x-4 $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем и правая часть уравнения должны быть неотрицательными.

Составим систему неравенств для ОДЗ:

$ \begin{cases} 3x+2 \ge 0 \\ 2x-4 \ge 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

1) $ 3x \ge -2 \implies x \ge -\frac{2}{3} $

2) $ 2x \ge 4 \implies x \ge 2 $

Пересечением этих двух условий является $ x \ge 2 $. Это ОДЗ уравнения.

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$ (\sqrt{3x+2})^2 = (2x-4)^2 $

$ 3x+2 = 4x^2 - 16x + 16 $

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$ 4x^2 - 16x - 3x + 16 - 2 = 0 $

$ 4x^2 - 19x + 14 = 0 $

Решим это квадратное уравнение через дискриминант. Здесь $ a=4, b=-19, c=14 $.

$ D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 14 = 361 - 224 = 137 $

Так как $ D > 0 $, уравнение имеет два действительных корня:

$ x_1 = \frac{19 - \sqrt{137}}{8} $

$ x_2 = \frac{19 + \sqrt{137}}{8} $

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($ x \ge 2 $).

Проверка для $ x_1 = \frac{19 - \sqrt{137}}{8} $. Оценим $ \sqrt{137} $. Мы знаем, что $ 11^2 = 121 $ и $ 12^2 = 144 $, значит $ 11 < \sqrt{137} < 12 $. Тогда числитель $ 19 - \sqrt{137} $ находится в интервале $ (19-12, 19-11) $, то есть $ (7, 8) $. Следовательно, $ x_1 $ находится в интервале $ (\frac{7}{8}, \frac{8}{8}) $, то есть $ (0.875, 1) $. Это значение меньше $ 2 $, значит, корень $ x_1 $ является посторонним.

Проверка для $ x_2 = \frac{19 + \sqrt{137}}{8} $. Используя ту же оценку, числитель $ 19 + \sqrt{137} $ находится в интервале $ (19+11, 19+12) $, то есть $ (30, 31) $. Значит, $ x_2 $ находится в интервале $ (\frac{30}{8}, \frac{31}{8}) $, то есть $ (3.75, 3.875) $. Это значение больше $ 2 $, поэтому корень $ x_2 $ является решением.

Следовательно, у уравнения есть только один корень.

Ответ: $ \frac{19+\sqrt{137}}{8} $.