Номер 74, страница 417 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 74, страница 417.

Условие.

74 a) $ \frac{x-1}{x} + \frac{x-2}{x-1} = \frac{x-10}{x-9} + \frac{x}{x+1} $

б) $ \frac{x+1}{x} + \frac{x-1}{x-2} = \frac{x+5}{x+1} + \frac{x-7}{x-6} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Исходное уравнение: $ \frac{x-1}{x} + \frac{x-2}{x-1} = \frac{x-10}{x-9} + \frac{x}{x+1} $
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю: $x \neq 0$; $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$; $x-9 \neq 0 \implies x \neq 9$; $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$.
ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 1, 9\}$.
Преобразуем каждую дробь, выделив целую часть:
$ \frac{x-1}{x} = \frac{x}{x} - \frac{1}{x} = 1 - \frac{1}{x} $
$ \frac{x-2}{x-1} = \frac{x-1-1}{x-1} = 1 - \frac{1}{x-1} $
$ \frac{x-10}{x-9} = \frac{x-9-1}{x-9} = 1 - \frac{1}{x-9} $
$ \frac{x}{x+1} = \frac{x+1-1}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1} $
Подставим преобразованные дроби в исходное уравнение:
$ (1 - \frac{1}{x}) + (1 - \frac{1}{x-1}) = (1 - \frac{1}{x-9}) + (1 - \frac{1}{x+1}) $
$ 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x-1} = 2 - \frac{1}{x-9} - \frac{1}{x+1} $
Вычтем 2 из обеих частей и умножим на -1:
$ \frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} = \frac{1}{x-9} + \frac{1}{x+1} $
Приведем дроби к общему знаменателю в каждой части уравнения:
$ \frac{x-1+x}{x(x-1)} = \frac{x+1+x-9}{(x-9)(x+1)} $
$ \frac{2x-1}{x^2-x} = \frac{2x-8}{x^2-8x-9} $
Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$ (2x-1)(x^2-8x-9) = (2x-8)(x^2-x) $
Раскроем скобки:
$ 2x^3 - 16x^2 - 18x - x^2 + 8x + 9 = 2x^3 - 2x^2 - 8x^2 + 8x $
$ 2x^3 - 17x^2 - 10x + 9 = 2x^3 - 10x^2 + 8x $
Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные слагаемые:
$ 0 = (2x^3 - 2x^3) + (-10x^2 + 17x^2) + (8x + 10x) - 9 $
$ 7x^2 + 18x - 9 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = 18^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-9) = 324 + 252 = 576 = 24^2 $
Найдем корни:
$ x_1 = \frac{-18 - 24}{2 \cdot 7} = \frac{-42}{14} = -3 $
$ x_2 = \frac{-18 + 24}{2 \cdot 7} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7} $
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = -3$, $x_2 = \frac{3}{7}$.

б) Исходное уравнение: $ \frac{x+1}{x} + \frac{x-1}{x-2} = \frac{x+5}{x+1} + \frac{x-7}{x-6} $
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю: $x \neq 0$; $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$; $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$; $x-6 \neq 0 \implies x \neq 6$.
ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 2, 6\}$.
Преобразуем каждую дробь, выделив целую часть:
$ \frac{x+1}{x} = 1 + \frac{1}{x} $
$ \frac{x-1}{x-2} = \frac{x-2+1}{x-2} = 1 + \frac{1}{x-2} $
$ \frac{x+5}{x+1} = \frac{x+1+4}{x+1} = 1 + \frac{4}{x+1} $
$ \frac{x-7}{x-6} = \frac{x-6-1}{x-6} = 1 - \frac{1}{x-6} $
Подставим преобразованные дроби в исходное уравнение:
$ (1 + \frac{1}{x}) + (1 + \frac{1}{x-2}) = (1 + \frac{4}{x+1}) + (1 - \frac{1}{x-6}) $
$ 2 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x-2} = 2 + \frac{4}{x+1} - \frac{1}{x-6} $
Вычтем 2 из обеих частей:
$ \frac{1}{x} + \frac{1}{x-2} = \frac{4}{x+1} - \frac{1}{x-6} $
Приведем дроби к общему знаменателю в каждой части уравнения:
$ \frac{x-2+x}{x(x-2)} = \frac{4(x-6) - (x+1)}{(x+1)(x-6)} $
$ \frac{2x-2}{x^2-2x} = \frac{4x - 24 - x - 1}{x^2-5x-6} $
$ \frac{2x-2}{x^2-2x} = \frac{3x-25}{x^2-5x-6} $
Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$ (2x-2)(x^2-5x-6) = (3x-25)(x^2-2x) $
Раскроем скобки:
$ 2x^3 - 10x^2 - 12x - 2x^2 + 10x + 12 = 3x^3 - 6x^2 - 25x^2 + 50x $
$ 2x^3 - 12x^2 - 2x + 12 = 3x^3 - 31x^2 + 50x $
Перенесем все члены в правую часть:
$ 0 = (3x^3 - 2x^3) + (-31x^2 + 12x^2) + (50x + 2x) - 12 $
$ x^3 - 19x^2 + 52x - 12 = 0 $
Это кубическое уравнение. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (-12): $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$.
Подставим $x=3$: $3^3 - 19 \cdot 3^2 + 52 \cdot 3 - 12 = 27 - 19 \cdot 9 + 156 - 12 = 27 - 171 + 156 - 12 = 183 - 183 = 0$.
Значит, $x=3$ является корнем уравнения. Разделим многочлен $x^3 - 19x^2 + 52x - 12$ на $(x-3)$:
$ (x^3 - 19x^2 + 52x - 12) \div (x-3) = x^2 - 16x + 4 $
Уравнение принимает вид:
$ (x-3)(x^2 - 16x + 4) = 0 $
Один корень $x_1 = 3$. Найдем остальные корни, решив квадратное уравнение $x^2 - 16x + 4 = 0$.
$ D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 256 - 16 = 240 $
$ \sqrt{D} = \sqrt{240} = \sqrt{16 \cdot 15} = 4\sqrt{15} $
$ x_{2,3} = \frac{16 \pm 4\sqrt{15}}{2} = 8 \pm 2\sqrt{15} $
Получили три корня: $x_1 = 3$, $x_2 = 8 + 2\sqrt{15}$, $x_3 = 8 - 2\sqrt{15}$.
Все три корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = 8 + 2\sqrt{15}$, $x_3 = 8 - 2\sqrt{15}$.