Номер 89, страница 418 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 89, страница 418.

Условие.

89 a) $\sqrt[3]{3x+20} + \sqrt[3]{5x+4} = \sqrt[3]{2x+19} + \sqrt[3]{6x+5};$

б) $\sqrt[3]{x+6} + \sqrt[3]{7x+10} = \sqrt[3]{2x+15} + \sqrt[3]{6x+1};$

в) $\sqrt[3]{2x+5} + \sqrt[3]{5x+16} = \sqrt[3]{x+8} + \sqrt[3]{6x+13};$

г) $\sqrt[3]{4x+6} + \sqrt[3]{5x+12} = \sqrt[3]{3x+10} + \sqrt[3]{6x+8}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Все уравнения в данной задаче имеют вид $ \sqrt[3]{A} + \sqrt[3]{B} = \sqrt[3]{C} + \sqrt[3]{D} $. Общий метод решения таких уравнений заключается в перегруппировке слагаемых таким образом, чтобы получить уравнение вида $ \sqrt[3]{A'} - \sqrt[3]{B'} = \sqrt[3]{C'} - \sqrt[3]{D'} $, где разности подкоренных выражений оказываются равными: $ A' - B' = C' - D' = k(x) $.
Далее рассматривается функция $ f(y) = \sqrt[3]{y+k} - \sqrt[3]{y} $. Уравнение принимает вид $ f(y_1) = f(y_2) $. Решения находятся в двух случаях:
1. Когда $ k(x) = 0 $, обе части уравнения обращаются в ноль, что дает первый корень.
2. Когда $ k(x) \neq 0 $, равенство $ f(y_1) = f(y_2) $ в задачах такого типа, как правило, означает, что $ y_1 = y_2 $, что дает второй корень.

а)

Дано уравнение: $ \sqrt[3]{3x+20} + \sqrt[3]{5x+4} = \sqrt[3]{2x+19} + \sqrt[3]{6x+5} $.

Перегруппируем слагаемые:

$ \sqrt[3]{3x+20} - \sqrt[3]{2x+19} = \sqrt[3]{6x+5} - \sqrt[3]{5x+4} $.

Разность подкоренных выражений в левой части: $ (3x+20) - (2x+19) = x+1 $.

Разность подкоренных выражений в правой части: $ (6x+5) - (5x+4) = x+1 $.

Пусть $ k = x+1 $. Уравнение можно представить в виде $ f(2x+19) = f(5x+4) $, где $ f(y) = \sqrt[3]{y+k} - \sqrt[3]{y} $.

Рассмотрим два случая:

1. $ k = x+1 = 0 $, откуда $ x = -1 $.

При $ k=0 $ уравнение становится тождеством $ 0 = 0 $, следовательно, $ x = -1 $ является корнем.

Проверка: При $ x = -1 $ левая часть равна $ \sqrt[3]{3(-1)+20} + \sqrt[3]{5(-1)+4} = \sqrt[3]{17} + \sqrt[3]{-1} = \sqrt[3]{17} - 1 $. Правая часть равна $ \sqrt[3]{2(-1)+19} + \sqrt[3]{6(-1)+5} = \sqrt[3]{17} + \sqrt[3]{-1} = \sqrt[3]{17} - 1 $. Равенство верно.

2. $ k = x+1 \neq 0 $.

Приравниваем аргументы, на которых основаны выражения:

$ 2x+19 = 5x+4 $

$ 3x = 15 $

$ x = 5 $

При $ x=5 $, $ k = 5+1 = 6 \neq 0 $, что удовлетворяет условию данного случая.

Проверка: При $ x = 5 $ левая часть равна $ \sqrt[3]{3(5)+20} + \sqrt[3]{5(5)+4} = \sqrt[3]{35} + \sqrt[3]{29} $. Правая часть равна $ \sqrt[3]{2(5)+19} + \sqrt[3]{6(5)+5} = \sqrt[3]{29} + \sqrt[3]{35} $. Равенство верно.

Ответ: $ x = -1; 5 $.

б)

Дано уравнение: $ \sqrt[3]{x+6} + \sqrt[3]{7x+10} = \sqrt[3]{2x+15} + \sqrt[3]{6x+1} $.

Перегруппируем слагаемые:

$ \sqrt[3]{7x+10} - \sqrt[3]{6x+1} = \sqrt[3]{2x+15} - \sqrt[3]{x+6} $.

Разность подкоренных выражений слева: $ (7x+10) - (6x+1) = x+9 $.

Разность подкоренных выражений справа: $ (2x+15) - (x+6) = x+9 $.

Пусть $ k = x+9 $. Уравнение можно записать как $ f(6x+1) = f(x+6) $, где $ f(y) = \sqrt[3]{y+k} - \sqrt[3]{y} $.

Рассмотрим два случая:

1. $ k = x+9 = 0 $, откуда $ x = -9 $.

Это значение является корнем уравнения.

Проверка: При $ x = -9 $ левая часть: $ \sqrt[3]{-9+6} + \sqrt[3]{7(-9)+10} = \sqrt[3]{-3} + \sqrt[3]{-53} $. Правая часть: $ \sqrt[3]{2(-9)+15} + \sqrt[3]{6(-9)+1} = \sqrt[3]{-3} + \sqrt[3]{-53} $. Равенство верно.

2. $ k = x+9 \neq 0 $.

Приравниваем аргументы:

$ 6x+1 = x+6 $

$ 5x = 5 $

$ x = 1 $

При $ x=1 $, $ k = 1+9 = 10 \neq 0 $.

Проверка: При $ x = 1 $ левая часть: $ \sqrt[3]{1+6} + \sqrt[3]{7(1)+10} = \sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{17} $. Правая часть: $ \sqrt[3]{2(1)+15} + \sqrt[3]{6(1)+1} = \sqrt[3]{17} + \sqrt[3]{7} $. Равенство верно.

Ответ: $ x = -9; 1 $.

в)

Дано уравнение: $ \sqrt[3]{2x+5} + \sqrt[3]{5x+16} = \sqrt[3]{x+8} + \sqrt[3]{6x+13} $.

Перегруппируем слагаемые:

$ \sqrt[3]{5x+16} - \sqrt[3]{x+8} = \sqrt[3]{6x+13} - \sqrt[3]{2x+5} $.

Разность подкоренных выражений слева: $ (5x+16) - (x+8) = 4x+8 $.

Разность подкоренных выражений справа: $ (6x+13) - (2x+5) = 4x+8 $.

Пусть $ k = 4x+8 $. Уравнение можно записать как $ f(x+8) = f(2x+5) $, где $ f(y) = \sqrt[3]{y+k} - \sqrt[3]{y} $.

Рассмотрим два случая:

1. $ k = 4x+8 = 0 $, откуда $ 4x = -8 \implies x = -2 $.

Это значение является корнем уравнения.

Проверка: При $ x = -2 $ левая часть: $ \sqrt[3]{2(-2)+5} + \sqrt[3]{5(-2)+16} = \sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{6} = 1 + \sqrt[3]{6} $. Правая часть: $ \sqrt[3]{-2+8} + \sqrt[3]{6(-2)+13} = \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{1} = \sqrt[3]{6} + 1 $. Равенство верно.

2. $ k = 4x+8 \neq 0 $.

Приравниваем аргументы:

$ x+8 = 2x+5 $

$ x = 3 $

При $ x=3 $, $ k = 4(3)+8 = 20 \neq 0 $.

Проверка: При $ x = 3 $ левая часть: $ \sqrt[3]{2(3)+5} + \sqrt[3]{5(3)+16} = \sqrt[3]{11} + \sqrt[3]{31} $. Правая часть: $ \sqrt[3]{3+8} + \sqrt[3]{6(3)+13} = \sqrt[3]{11} + \sqrt[3]{31} $. Равенство верно.

Ответ: $ x = -2; 3 $.

г)

Дано уравнение: $ \sqrt[3]{4x+6} + \sqrt[3]{5x+12} = \sqrt[3]{3x+10} + \sqrt[3]{6x+8} $.

Перегруппируем слагаемые:

$ \sqrt[3]{4x+6} - \sqrt[3]{3x+10} = \sqrt[3]{6x+8} - \sqrt[3]{5x+12} $.

Разность подкоренных выражений слева: $ (4x+6) - (3x+10) = x-4 $.

Разность подкоренных выражений справа: $ (6x+8) - (5x+12) = x-4 $.

Пусть $ k = x-4 $. Уравнение можно записать как $ f(3x+10) = f(5x+12) $, где $ f(y) = \sqrt[3]{y+k} - \sqrt[3]{y} $.

Рассмотрим два случая:

1. $ k = x-4 = 0 $, откуда $ x = 4 $.

Это значение является корнем уравнения.

Проверка: При $ x = 4 $ левая часть: $ \sqrt[3]{4(4)+6} + \sqrt[3]{5(4)+12} = \sqrt[3]{22} + \sqrt[3]{32} $. Правая часть: $ \sqrt[3]{3(4)+10} + \sqrt[3]{6(4)+8} = \sqrt[3]{22} + \sqrt[3]{32} $. Равенство верно.

2. $ k = x-4 \neq 0 $.

Приравниваем аргументы:

$ 3x+10 = 5x+12 $

$ 2x = -2 $

$ x = -1 $

При $ x=-1 $, $ k = -1-4 = -5 \neq 0 $.

Проверка: При $ x = -1 $ левая часть: $ \sqrt[3]{4(-1)+6} + \sqrt[3]{5(-1)+12} = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{7} $. Правая часть: $ \sqrt[3]{3(-1)+10} + \sqrt[3]{6(-1)+8} = \sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{2} $. Равенство верно.

Ответ: $ x = -1; 4 $.