Номер 93, страница 419 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 93, страница 419.

Условие.

93 a) $\frac{4^{3 - 0.2x}}{8} = 0.5 \cdot 2^{0.4 - 3x}$;

б) $0.2 \cdot 5^{0.3x - 4} = \frac{125}{25^{0.2 - x}}$;

в) $4^{x+1} + 4^{x+2} = 40$;

г) $3^{x-1} - 3^{x-2} = 18$;

д) $9^{x+1} + 3^{2x+4} = 30$;

е) $4^{x+1} - 2^{2x-2} = 60$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Исходное уравнение: $ \frac{4^{3 - 0,2x}}{8} = 0,5 \cdot 2^{0,4 - 3x} $

Приведем все части уравнения к основанию 2. Мы знаем, что $4 = 2^2$, $8 = 2^3$ и $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.

Подставим эти значения в уравнение:

$ \frac{(2^2)^{3 - 0,2x}}{2^3} = 2^{-1} \cdot 2^{0,4 - 3x} $

Используем свойства степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$ \frac{2^{2 \cdot (3 - 0,2x)}}{2^3} = 2^{-1 + (0,4 - 3x)} $

$ \frac{2^{6 - 0,4x}}{2^3} = 2^{-0,6 - 3x} $

$ 2^{(6 - 0,4x) - 3} = 2^{-0,6 - 3x} $

$ 2^{3 - 0,4x} = 2^{-0,6 - 3x} $

Теперь, когда основания равны, мы можем приравнять показатели степеней:

$ 3 - 0,4x = -0,6 - 3x $

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую:

$ 3x - 0,4x = -0,6 - 3 $

$ 2,6x = -3,6 $

$ x = \frac{-3,6}{2,6} = \frac{-36}{26} = -\frac{18}{13} $

Ответ: $x = -\frac{18}{13}$

б)

Исходное уравнение: $ 0,2 \cdot 5^{0,3x - 4} = \frac{125}{25^{0,2 - x}} $

Приведем все части уравнения к основанию 5. Мы знаем, что $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$, $125 = 5^3$ и $25 = 5^2$.

Подставим эти значения в уравнение:

$ 5^{-1} \cdot 5^{0,3x - 4} = \frac{5^3}{(5^2)^{0,2 - x}} $

Упростим обе части, используя свойства степеней:

$ 5^{-1 + (0,3x - 4)} = \frac{5^3}{5^{2 \cdot (0,2 - x)}} $

$ 5^{0,3x - 5} = \frac{5^3}{5^{0,4 - 2x}} $

$ 5^{0,3x - 5} = 5^{3 - (0,4 - 2x)} $

$ 5^{0,3x - 5} = 5^{3 - 0,4 + 2x} $

$ 5^{0,3x - 5} = 5^{2,6 + 2x} $

Приравниваем показатели степеней:

$ 0,3x - 5 = 2,6 + 2x $

Решаем линейное уравнение:

$ 0,3x - 2x = 2,6 + 5 $

$ -1,7x = 7,6 $

$ x = \frac{7,6}{-1,7} = \frac{76}{-17} = -\frac{76}{17} $

Ответ: $x = -\frac{76}{17}$

в)

Исходное уравнение: $ 4^{x+1} + 4^{x+2} = 40 $

Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$ 4^x \cdot 4^1 + 4^x \cdot 4^2 = 40 $

$ 4 \cdot 4^x + 16 \cdot 4^x = 40 $

Вынесем общий множитель $4^x$ за скобки:

$ 4^x(4 + 16) = 40 $

$ 4^x \cdot 20 = 40 $

Разделим обе части на 20:

$ 4^x = \frac{40}{20} $

$ 4^x = 2 $

Представим 4 как $2^2$:

$ (2^2)^x = 2^1 $

$ 2^{2x} = 2^1 $

Приравниваем показатели степеней:

$ 2x = 1 $

$ x = \frac{1}{2} $

Ответ: $x = 0,5$

г)

Исходное уравнение: $ 3^{x-1} - 3^{x-2} = 18 $

Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$ \frac{3^x}{3^1} - \frac{3^x}{3^2} = 18 $

$ \frac{3^x}{3} - \frac{3^x}{9} = 18 $

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$ 3^x \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{9}\right) = 18 $

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$ 3^x \left(\frac{3}{9} - \frac{1}{9}\right) = 18 $

$ 3^x \cdot \frac{2}{9} = 18 $

Выразим $3^x$:

$ 3^x = 18 \cdot \frac{9}{2} $

$ 3^x = 9 \cdot 9 = 81 $

Представим 81 как степень 3: $81 = 3^4$

$ 3^x = 3^4 $

Отсюда, $x=4$.

Ответ: $x = 4$

д)

Исходное уравнение: $ 9^{x+1} + 3^{2x+4} = 30 $

Приведем все к основанию 3, зная что $9 = 3^2$:

$ (3^2)^{x+1} + 3^{2x+4} = 30 $

$ 3^{2(x+1)} + 3^{2x+4} = 30 $

$ 3^{2x+2} + 3^{2x+4} = 30 $

Используем свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$ 3^{2x} \cdot 3^2 + 3^{2x} \cdot 3^4 = 30 $

$ 9 \cdot 3^{2x} + 81 \cdot 3^{2x} = 30 $

Вынесем общий множитель $3^{2x}$ за скобки:

$ 3^{2x}(9 + 81) = 30 $

$ 3^{2x} \cdot 90 = 30 $

$ 3^{2x} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3} $

Представим $\frac{1}{3}$ как $3^{-1}$:

$ 3^{2x} = 3^{-1} $

Приравниваем показатели:

$ 2x = -1 $

$ x = -\frac{1}{2} $

Ответ: $x = -0,5$

е)

Исходное уравнение: $ 4^{x+1} - 2^{2x-2} = 60 $

Приведем все к основанию 2, зная что $4 = 2^2$:

$ (2^2)^{x+1} - 2^{2x-2} = 60 $

$ 2^{2(x+1)} - 2^{2x-2} = 60 $

$ 2^{2x+2} - 2^{2x-2} = 60 $

Используем свойства степеней:

$ 2^{2x} \cdot 2^2 - \frac{2^{2x}}{2^2} = 60 $

$ 4 \cdot 2^{2x} - \frac{1}{4} \cdot 2^{2x} = 60 $

Вынесем общий множитель $2^{2x}$ за скобки:

$ 2^{2x}\left(4 - \frac{1}{4}\right) = 60 $

$ 2^{2x}\left(\frac{16}{4} - \frac{1}{4}\right) = 60 $

$ 2^{2x} \cdot \frac{15}{4} = 60 $

Выразим $2^{2x}$:

$ 2^{2x} = 60 \cdot \frac{4}{15} $

$ 2^{2x} = 4 \cdot 4 = 16 $

Представим 16 как степень 2: $16 = 2^4$

$ 2^{2x} = 2^4 $

Приравниваем показатели:

$ 2x = 4 $

$ x = 2 $

Ответ: $x = 2$