Номер 94, страница 419 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 94, страница 419.

Условие.

94 a) $2^{2x+1} \cdot 3^x = 2 \cdot 12^{4-x}$;

б) $2^{2x-1} \cdot 3^x = 0,5 \cdot 12^{4-x}$;

в) $9 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^{2x^2} - 18 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^{x^2} + 9 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Исходное уравнение: $2^{2x+1} \cdot 3^x = 2 \cdot 12^{4-x}$.
Для решения преобразуем обе части уравнения, чтобы привести их к одному основанию.
Сначала преобразуем левую часть, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:
$2^{2x+1} \cdot 3^x = 2^{2x} \cdot 2^1 \cdot 3^x = (2^2)^x \cdot 2 \cdot 3^x = 4^x \cdot 2 \cdot 3^x$.
Теперь, используя свойство $a^m \cdot b^m = (ab)^m$, сгруппируем члены с одинаковым показателем:
$2 \cdot (4^x \cdot 3^x) = 2 \cdot (4 \cdot 3)^x = 2 \cdot 12^x$.
Уравнение принимает вид:
$2 \cdot 12^x = 2 \cdot 12^{4-x}$.
Разделим обе части уравнения на 2:
$12^x = 12^{4-x}$.
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$x = 4 - x$
$x + x = 4$
$2x = 4$
$x = 2$.
Ответ: $x=2$.

б) Исходное уравнение: $2^{2x-1} \cdot 3^x = 0,5 \cdot 12^{4-x}$.
Преобразуем левую часть уравнения, как в предыдущем примере:
$2^{2x-1} \cdot 3^x = 2^{2x} \cdot 2^{-1} \cdot 3^x = (2^2)^x \cdot \frac{1}{2} \cdot 3^x = 4^x \cdot \frac{1}{2} \cdot 3^x = \frac{1}{2} \cdot (4 \cdot 3)^x = \frac{1}{2} \cdot 12^x$.
Представим коэффициент 0,5 в правой части в виде дроби $\frac{1}{2}$:
$0,5 \cdot 12^{4-x} = \frac{1}{2} \cdot 12^{4-x}$.
Теперь уравнение выглядит так:
$\frac{1}{2} \cdot 12^x = \frac{1}{2} \cdot 12^{4-x}$.
Умножим обе части уравнения на 2:
$12^x = 12^{4-x}$.
Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:
$x = 4 - x$
$2x = 4$
$x = 2$.
Ответ: $x=2$.

в) Исходное уравнение: $9 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^{2x^2} - 18 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^{x^2} + 9 = 0$.
Это уравнение является квадратным относительно выражения $\left(\frac{5}{3}\right)^{x^2}$. Заметим, что $\left(\frac{5}{3}\right)^{2x^2} = \left(\left(\frac{5}{3}\right)^{x^2}\right)^2$.
Чтобы упростить уравнение, введем замену. Пусть $y = \left(\frac{5}{3}\right)^{x^2}$. Так как основание степени $\frac{5}{3} > 0$, то $y > 0$.
Подставим $y$ в исходное уравнение:
$9y^2 - 18y + 9 = 0$.
Разделим все члены уравнения на 9:
$y^2 - 2y + 1 = 0$.
Это формула квадрата разности:
$(y-1)^2 = 0$.
Отсюда следует, что $y-1=0$, то есть $y=1$.
Теперь выполним обратную замену:
$\left(\frac{5}{3}\right)^{x^2} = 1$.
Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1. Мы можем представить 1 как $\left(\frac{5}{3}\right)^0$.
$\left(\frac{5}{3}\right)^{x^2} = \left(\frac{5}{3}\right)^0$.
Приравниваем показатели степеней:
$x^2 = 0$.
Следовательно, $x = 0$.
Ответ: $x=0$.