Номер 101, страница 419 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 101, страница 419.

Условие.

Решите уравнение (101–107):

101 a) $\sin 2x = \sqrt{3} \cos x$;

б) $\sin 2x = \sqrt{2} \cos x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a) $ \sin 2x = \sqrt{3}\cos x $

Данное уравнение является тригонометрическим. Для его решения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $.

Применим эту формулу к нашему уравнению:

$ 2\sin x \cos x = \sqrt{3}\cos x $

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$ 2\sin x \cos x - \sqrt{3}\cos x = 0 $

Вынесем общий множитель $ \cos x $ за скобки:

$ \cos x (2\sin x - \sqrt{3}) = 0 $

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1. $ \cos x = 0 $

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:

$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2. $ 2\sin x - \sqrt{3} = 0 $

Выразим $ \sin x $:

$ 2\sin x = \sqrt{3} $

$ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Решением этого уравнения является серия корней:

$ x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Поскольку $ \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3} $, получаем:

$ x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Объединив решения обоих уравнений, получаем итоговый ответ.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $; $ x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

б) $ \sin 2x = \sqrt{2}\cos x $

Решаем это уравнение аналогично предыдущему. Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $.

$ 2\sin x \cos x = \sqrt{2}\cos x $

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $ \cos x $:

$ 2\sin x \cos x - \sqrt{2}\cos x = 0 $

$ \cos x (2\sin x - \sqrt{2}) = 0 $

Получаем совокупность двух уравнений:

1. $ \cos x = 0 $

Решение:

$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2. $ 2\sin x - \sqrt{2} = 0 $

Выразим $ \sin x $:

$ 2\sin x = \sqrt{2} $

$ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Решение этого уравнения:

$ x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Так как $ \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} $, получаем:

$ x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Объединяем найденные серии корней.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $; $ x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.