Номер 106, страница 420 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 106, страница 420.

Условие.

106 а) $ \sin 2x = \cos x $;

б) $ \cos 2x = \sin x $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Дано уравнение $sin 2x = cos x$.
Используем формулу синуса двойного угла $sin 2x = 2 sin x cos x$ и подставим её в исходное уравнение:
$2 sin x cos x = cos x$
Перенесём все члены в левую часть и вынесем общий множитель $cos x$ за скобки:
$2 sin x cos x - cos x = 0$
$cos x (2 sin x - 1) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям.
Первое уравнение: $cos x = 0$. Его решения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Второе уравнение: $2 sin x - 1 = 0$, что эквивалентно $sin x = \frac{1}{2}$. Его решения: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Объединяя все найденные серии решений, получаем окончательный ответ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n; x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б) Дано уравнение $cos 2x = sin x$.
Используем формулу косинуса двойного угла $cos 2x = 1 - 2 sin^2 x$, чтобы привести уравнение к одной тригонометрической функции:
$1 - 2 sin^2 x = sin x$
Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $sin x$:
$2 sin^2 x + sin x - 1 = 0$
Сделаем замену переменной $t = sin x$, с учётом того, что область значений синуса $[-1, 1]$, то есть $|t| \le 1$. Уравнение принимает вид:
$2t^2 + t - 1 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.
Корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = -1$
Оба корня, $t_1 = \frac{1}{2}$ и $t_2 = -1$, принадлежат отрезку $[-1, 1]$, поэтому оба являются допустимыми. Выполним обратную замену.
Первый случай: $sin x = \frac{1}{2}$. Решения этого уравнения: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Второй случай: $sin x = -1$. Это частный случай, решения которого: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Объединяя решения обоих случаев, получаем окончательный ответ.
Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k; x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.