Номер 110, страница 420 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 110, страница 420.

Условие.

Решите уравнение (110–118):

110 $3 \cos 2x + 4 \sin x = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

110. Дано тригонометрическое уравнение:

$3\cos 2x + 4\sin x = 1$

Для решения этого уравнения необходимо привести все тригонометрические функции к одному аргументу $x$. Для этого воспользуемся формулой косинуса двойного угла. Существует три варианта этой формулы, но наиболее подходящим является $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$, так как в уравнении уже есть член с $\sin x$. Это позволит свести уравнение к алгебраическому относительно $\sin x$.

Подставим эту формулу в исходное уравнение:

$3(1 - 2\sin^2 x) + 4\sin x = 1$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3 - 6\sin^2 x + 4\sin x = 1$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону (в правую), чтобы коэффициент при старшей степени был положительным:

$0 = 6\sin^2 x - 4\sin x - 3 + 1$

$6\sin^2 x - 4\sin x - 2 = 0$

Для упрощения вычислений разделим обе части уравнения на 2:

$3\sin^2 x - 2\sin x - 1 = 0$

Теперь введем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Так как область значений функции синус от -1 до 1 включительно, то для переменной $t$ должно выполняться условие $|t| \le 1$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:

$3t^2 - 2t - 1 = 0$

Решим это уравнение. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Оба найденных значения $t_1 = 1$ и $t_2 = -1/3$ удовлетворяют условию $|t| \le 1$.

Выполним обратную замену и решим два получившихся простейших тригонометрических уравнения:

1) $\sin x = 1$

Это частный случай, решением является серия корней:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$

2) $\sin x = -\frac{1}{3}$

Общее решение для этого уравнения имеет вид:

$x = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

Используя свойство нечетности функции арксинус, $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$, можно переписать решение в более удобном виде:

$x = (-1)^n \left(-\arcsin\frac{1}{3}\right) + \pi n = (-1)^{n+1} \arcsin\frac{1}{3} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

Объединяя решения из обоих случаев, получаем полный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^{n+1}\arcsin\frac{1}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.