Номер 114, страница 420 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 114, страница 420.

Условие.

114 $tg x + tg 2x + tg x tg 2x tg 3x = tg 3x + tg 4x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Исходное уравнение:$ \tg x + \tg 2x + \tg x \tg 2x \tg 3x = \tg 3x + \tg 4x $

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta} $

Из этой формулы можно выразить сумму тангенсов:$ \tg \alpha + \tg \beta = \tg(\alpha + \beta)(1 - \tg \alpha \tg \beta) $

Применим эту формулу для $ \alpha = x $ и $ \beta = 2x $. Тогда $ \alpha + \beta = 3x $.$ \tg x + \tg 2x = \tg(x + 2x)(1 - \tg x \tg 2x) = \tg 3x (1 - \tg x \tg 2x) $$ \tg x + \tg 2x = \tg 3x - \tg x \tg 2x \tg 3x $

Теперь подставим это выражение в левую часть исходного уравнения. Выражение $ \tg x + \tg 2x $ заменяем на $ \tg 3x - \tg x \tg 2x \tg 3x $:$ (\tg 3x - \tg x \tg 2x \tg 3x) + \tg x \tg 2x \tg 3x = \tg 3x + \tg 4x $

В левой части слагаемые $ - \tg x \tg 2x \tg 3x $ и $ + \tg x \tg 2x \tg 3x $ взаимно уничтожаются:$ \tg 3x = \tg 3x + \tg 4x $

Вычитая $ \tg 3x $ из обеих частей уравнения, получаем:$ \tg 4x = 0 $

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является:$ 4x = n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $$ x = \frac{n\pi}{4} $, где $ n \in \mathbb{Z} $

Теперь необходимо проверить, входят ли найденные решения в область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Тангенс $ \tg \alpha $ определен, если $ \cos \alpha \neq 0 $, то есть $ \alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Условия ОДЗ для нашего уравнения:1. $ \tg x $ определен $ \implies x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi $2. $ \tg 2x $ определен $ \implies 2x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} $3. $ \tg 3x $ определен $ \implies 3x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} $4. $ \tg 4x $ определен $ \implies 4x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x \neq \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4} $

Проверим наши решения $ x = \frac{n\pi}{4} $ на соответствие этим условиям.

1. $ \frac{n\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies \frac{n}{4} = \frac{1}{2} + k \implies n = 2 + 4k $. Значения $ n $, имеющие вид $ 4k+2 $, нужно исключить.

2. $ \frac{n\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \implies \frac{n}{4} = \frac{1}{4} + \frac{k}{2} \implies n = 1 + 2k $. Это означает, что $ n $ не может быть нечетным числом. Все нечетные $ n $ нужно исключить.

3. $ \frac{n\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \implies \frac{n}{4} = \frac{1}{6} + \frac{k}{3} $. Умножим на 12: $ 3n = 2 + 4k $. Отсюда $ 3n \equiv 2 \pmod{4} $. Проверяя остатки при делении на 4, находим, что это равенство выполняется при $ n \equiv 2 \pmod{4} $, то есть $ n = 2 + 4m $. Это то же самое ограничение, что и в пункте 1.

4. $ \frac{n\