Номер 114, страница 420 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

114 $tg x + tg 2x + tg x tg 2x tg 3x = tg 3x + tg 4x.$

Это уравнение выглядит громоздким, но оно основано на красивом тригонометрическом тождестве для тангенсов. Давайте его упростим.

1. Вспомогательное тождество

Рассмотрим формулу тангенса суммы: $tg(x + 2x) = \frac{tg x + tg 2x}{1 - tg x tg 2x}$. Отсюда:

$$tg 3x (1 - tg x tg 2x) = tg x + tg 2x$$

Раскроем скобки: $tg 3x - tg x tg 2x tg 3x = tg x + tg 2x$.
Перенесем слагаемые: $tg x + tg 2x + tg x tg 2x tg 3x = tg 3x$.

2. Упрощение уравнения

Заметим, что вся левая часть нашего исходного уравнения в точности совпадает с полученным выражением. Подставим его:

$$tg 3x = tg 3x + tg 4x$$

Вычтем $tg 3x$ из обеих частей:

$$tg 4x = 0$$

3. Решение простейшего уравнения

$$4x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

$$x = \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

4. Область допустимых значений (ОДЗ)

Тангенс не определен, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$. Проверим наши корни:

• Для $tg x$: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow \frac{\pi n}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow n \neq 2 + 4k$ (нечетные $n/2$).
• Для $tg 2x$: $2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow \frac{\pi n}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow n \neq 1 + 2k$ ($n$ не может быть нечетным).
• Для $tg 3x$: $3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow \frac{3\pi n}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow 3n \neq 2 + 4k$.
• Для $tg 4x$: $4x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow \pi n \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ (выполняется всегда).

Из условия для $tg 2x$ следует, что $n$ должно быть четным. Пусть $n = 2m$.
Тогда $x = \frac{\pi (2m)}{4} = \frac{\pi m}{2}$.
Но если $m$ нечетное, то $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \dots$, и тогда $tg x$ не существует.
Значит, $m$ тоже должно быть четным. Пусть $m = 2k$.
Тогда $x = \frac{\pi (2k)}{2} = \pi k$.

Проверим $x = \pi k$:
$tg(\pi k) = 0$, $tg(2\pi k) = 0$, $tg(3\pi k) = 0$.
$0 + 0 + 0 = 0 + 0$. Все условия соблюдены.

Ответ: $x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$