Номер 114, страница 420 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Задания для повторения - номер 114, страница 420.
№114 (с. 420)
Условие. №114 (с. 420)
скриншот условия

114 $tg x + tg 2x + tg x tg 2x tg 3x = tg 3x + tg 4x.$
Решение 1. №114 (с. 420)

Решение 2. №114 (с. 420)

Решение 4. №114 (с. 420)
Исходное уравнение:$ \tg x + \tg 2x + \tg x \tg 2x \tg 3x = \tg 3x + \tg 4x $
Для решения этого уравнения воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta} $
Из этой формулы можно выразить сумму тангенсов:$ \tg \alpha + \tg \beta = \tg(\alpha + \beta)(1 - \tg \alpha \tg \beta) $
Применим эту формулу для $ \alpha = x $ и $ \beta = 2x $. Тогда $ \alpha + \beta = 3x $.$ \tg x + \tg 2x = \tg(x + 2x)(1 - \tg x \tg 2x) = \tg 3x (1 - \tg x \tg 2x) $$ \tg x + \tg 2x = \tg 3x - \tg x \tg 2x \tg 3x $
Теперь подставим это выражение в левую часть исходного уравнения. Выражение $ \tg x + \tg 2x $ заменяем на $ \tg 3x - \tg x \tg 2x \tg 3x $:$ (\tg 3x - \tg x \tg 2x \tg 3x) + \tg x \tg 2x \tg 3x = \tg 3x + \tg 4x $
В левой части слагаемые $ - \tg x \tg 2x \tg 3x $ и $ + \tg x \tg 2x \tg 3x $ взаимно уничтожаются:$ \tg 3x = \tg 3x + \tg 4x $
Вычитая $ \tg 3x $ из обеих частей уравнения, получаем:$ \tg 4x = 0 $
Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является:$ 4x = n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $$ x = \frac{n\pi}{4} $, где $ n \in \mathbb{Z} $
Теперь необходимо проверить, входят ли найденные решения в область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Тангенс $ \tg \alpha $ определен, если $ \cos \alpha \neq 0 $, то есть $ \alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Условия ОДЗ для нашего уравнения:1. $ \tg x $ определен $ \implies x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi $2. $ \tg 2x $ определен $ \implies 2x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} $3. $ \tg 3x $ определен $ \implies 3x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} $4. $ \tg 4x $ определен $ \implies 4x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x \neq \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4} $
Проверим наши решения $ x = \frac{n\pi}{4} $ на соответствие этим условиям.
1. $ \frac{n\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies \frac{n}{4} = \frac{1}{2} + k \implies n = 2 + 4k $. Значения $ n $, имеющие вид $ 4k+2 $, нужно исключить.
2. $ \frac{n\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \implies \frac{n}{4} = \frac{1}{4} + \frac{k}{2} \implies n = 1 + 2k $. Это означает, что $ n $ не может быть нечетным числом. Все нечетные $ n $ нужно исключить.
3. $ \frac{n\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \implies \frac{n}{4} = \frac{1}{6} + \frac{k}{3} $. Умножим на 12: $ 3n = 2 + 4k $. Отсюда $ 3n \equiv 2 \pmod{4} $. Проверяя остатки при делении на 4, находим, что это равенство выполняется при $ n \equiv 2 \pmod{4} $, то есть $ n = 2 + 4m $. Это то же самое ограничение, что и в пункте 1.
4. $ \frac{n\
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 114 расположенного на странице 420 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №114 (с. 420), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.