Номер 119, страница 420 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 119, страница 420.

Условие.

Решите уравнение (119-129):

119 a) $|x - \frac{3}{7}| = \frac{2}{7}$;

б) $|x - \frac{5}{8}| = \frac{3}{5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Для решения уравнения с модулем $|x - \frac{3}{7}| = \frac{2}{7}$ необходимо рассмотреть два случая. Уравнение вида $|A|=B$, где $B \ge 0$, равносильно совокупности двух уравнений: $A=B$ и $A=-B$.

Случай 1: Раскрываем модуль, оставляя выражение под ним без изменений.
$x - \frac{3}{7} = \frac{2}{7}$
Чтобы найти $x$, перенесем $-\frac{3}{7}$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$x = \frac{2}{7} + \frac{3}{7}$
$x = \frac{2+3}{7}$
$x_1 = \frac{5}{7}$

Случай 2: Раскрываем модуль, изменяя знак выражения в правой части уравнения.
$x - \frac{3}{7} = -\frac{2}{7}$
Аналогично, переносим $-\frac{3}{7}$ в правую часть:
$x = -\frac{2}{7} + \frac{3}{7}$
$x = \frac{-2+3}{7}$
$x_2 = \frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{7}; \frac{5}{7}$.

б)

Решаем уравнение $|x - \frac{5}{8}| = \frac{3}{5}$ аналогичным образом, рассматривая два случая.

Случай 1:
$x - \frac{5}{8} = \frac{3}{5}$
Переносим $-\frac{5}{8}$ в правую часть:
$x = \frac{3}{5} + \frac{5}{8}$
Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, приводим их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 5 и 8 равно 40.
$x = \frac{3 \cdot 8}{5 \cdot 8} + \frac{5 \cdot 5}{8 \cdot 5}$
$x = \frac{24}{40} + \frac{25}{40}$
$x = \frac{24 + 25}{40}$
$x_1 = \frac{49}{40}$

Случай 2:
$x - \frac{5}{8} = -\frac{3}{5}$
Переносим $-\frac{5}{8}$ в правую часть:
$x = -\frac{3}{5} + \frac{5}{8}$
Приводим дроби к общему знаменателю 40:
$x = -\frac{3 \cdot 8}{5 \cdot 8} + \frac{5 \cdot 5}{8 \cdot 5}$
$x = -\frac{24}{40} + \frac{25}{40}$
$x = \frac{-24 + 25}{40}$
$x_2 = \frac{1}{40}$

Ответ: $\frac{1}{40}; \frac{49}{40}$.