Номер 126, страница 421 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 126, страница 421.

Условие.

126 a) $ \left| \cos x - \frac{1}{2} \right| = \sin x - \frac{1}{2} $;

б) $ \left| \sin x - \frac{1}{2} \right| = \cos x - \frac{1}{2} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $|\cos x - \frac{1}{2}| = \sin x - \frac{1}{2}$

Данное уравнение имеет вид $|A| = B$. Оно может иметь решение только в том случае, если правая часть неотрицательна, так как модуль числа всегда неотрицателен. Таким образом, получаем область допустимых значений (ОДЗ):

$\sin x - \frac{1}{2} \ge 0 \implies \sin x \ge \frac{1}{2}$

Это неравенство выполняется при $x \in [\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

При выполнении этого условия исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $\cos x - \frac{1}{2} = \sin x - \frac{1}{2}$

2) $\cos x - \frac{1}{2} = -(\sin x - \frac{1}{2})$

Решим каждое уравнение отдельно.

1) $\cos x = \sin x$.

Если $\cos x = 0$, то $\sin x$ также должен быть равен 0, что невозможно, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, можно разделить обе части на $\cos x \ne 0$:

$\tan x = 1$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо проверить, какие из найденных корней удовлетворяют условию ОДЗ $\sin x \ge \frac{1}{2}$.

При $n = 2k$ (четное), $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$. Тогда $\sin x = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 > 0.5$, эта серия корней подходит.

При $n = 2k + 1$ (нечетное), $x = \frac{\pi}{4} + (2k+1)\pi = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$. Тогда $\sin x = \sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $-\frac{\sqrt{2}}{2} < \frac{1}{2}$, эта серия корней не подходит.

Таким образом, из первого случая получаем решение $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x - \frac{1}{2} = -\sin x + \frac{1}{2}$

$\sin x + \cos x = 1$.

Это уравнение вида $a\sin x + b\cos x = c$. Решим его методом введения вспомогательного угла. Умножим обе части на $\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Отсюда следуют две серии решений:

$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi m \implies x = 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

$x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi m \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Проверим эти корни на соответствие ОДЗ $\sin x \ge \frac{1}{2}$.

Для $x = 2\pi m$: $\sin(2\pi m) = 0$. Так как $0 < \frac{1}{2}$, эти корни не подходят.

Для $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$: $\sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi m) = 1$. Так как $1 \ge \frac{1}{2}$, эти корни подходят.

Из второго случая получаем решение $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя все подходящие решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

---

б) $|\sin x - \frac{1}{2}| = \cos x - \frac{1}{2}$

Аналогично пункту а), правая часть уравнения должна быть неотрицательной. ОДЗ:

$\cos x - \frac{1}{2} \ge 0 \implies \cos x \ge \frac{1}{2}$

Это неравенство выполняется при $x \in [-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

При этом условии исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $\sin x - \frac{1}{2} = \cos x - \frac{1}{2}$

2) $\sin x - \frac{1}{2} = -(\cos x - \frac{1}{2})$

Решим каждое уравнение.

1) $\sin x = \cos x$.

$\tan x = 1$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ $\cos x \ge \frac{1}{2}$.

При $n = 2k$ (четное), $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$. Тогда $\cos x = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $\frac{\sqrt{2}}{2} > \frac{1}{2}$, эта серия корней подходит.

При $n = 2k + 1$ (нечетное), $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$. Тогда $\cos x = \cos(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $-\frac{\sqrt{2}}{2} < \frac{1}{2}$, эта серия корней не подходит.

Из первого случая получаем решение $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x - \frac{1}{2} = -\cos x + \frac{1}{2}$

$\sin x + \cos x = 1$.

Как мы уже выяснили в пункте а), решениями этого уравнения являются серии $x = 2\pi m$ и $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Проверим эти корни на соответствие ОДЗ $\cos x \ge \frac{1}{2}$.

Для $x = 2\pi m$: $\cos(2\pi m) = 1$. Так как $1 \ge \frac{1}{2}$, эти корни подходят.

Для $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$: $\cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi m) = 0$. Так как $0 < \frac{1}{2}$, эти корни не подходят.

Из второго случая получаем решение $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя все подходящие решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.