Номер 121, страница 421 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 121, страница 421.

Условие.

121 a) $x^2 + 1 + |x - 1| = 2|x|;$

б) $x^2 + 1 + |x + 1| = 2|x|.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Решим уравнение $x^2 + 1 + |x - 1| = 2|x|$.

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x^2 + 1 + |x - 1| - 2|x| = 0$

Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Используем это свойство для преобразования уравнения:

$|x|^2 - 2|x| + 1 + |x - 1| = 0$

Первые три слагаемых представляют собой формулу квадрата разности:

$(|x| - 1)^2 + |x - 1| = 0$

В левой части уравнения стоит сумма двух неотрицательных выражений. Выражение $(|x| - 1)^2$ всегда больше или равно нулю, так как это квадрат. Выражение $|x - 1|$ также всегда больше или равно нулю по определению модуля.

Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Следовательно, мы получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} (|x| - 1)^2 = 0 \\ |x - 1| = 0 \end{cases} $

Решим каждое уравнение системы:

1. Из первого уравнения $(|x| - 1)^2 = 0$ следует, что $|x| - 1 = 0$, откуда $|x| = 1$. Это означает, что $x = 1$ или $x = -1$.

2. Из второго уравнения $|x - 1| = 0$ следует, что $x - 1 = 0$, откуда $x = 1$.

Для того чтобы система имела решение, необходимо найти значение $x$, которое удовлетворяет обоим уравнениям. Таким значением является $x = 1$.

Прове