Номер 117, страница 420 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 117, страница 420.

Условие.

117 $3 \sin^2 x - 3 \cos x - 6 \sin x + 2 \sin 2x + 3 = 0$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения уравнения $3 \sin^2 x - 3 \cos x - 6 \sin x + 2 \sin 2x + 3 = 0$ выполним следующие преобразования.

1. Упрощение уравнения

Сначала применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:
$3 \sin^2 x - 3 \cos x - 6 \sin x + 4 \sin x \cos x + 3 = 0$.

Теперь сгруппируем слагаемые. Заметим, что выражение $3 \sin^2 x - 6 \sin x + 3$ является полным квадратом: $3(\sin^2 x - 2 \sin x + 1) = 3(\sin x - 1)^2$.
Перепишем уравнение, выделив этот квадрат и сгруппировав оставшиеся члены:
$(3 \sin^2 x - 6 \sin x + 3) + (4 \sin x \cos x - 3 \cos x) = 0$.

Вынесем общие множители из каждой группы и получим более простое уравнение:
$3(\sin x - 1)^2 + \cos x(4 \sin x - 3) = 0$.

2. Нахождение корней

Для решения полученного уравнения рассмотрим два взаимоисключающих случая.

Случай 1: $\sin x = 1$
Если $\sin x = 1$, то первый член $3(\sin x - 1)^2$ обращается в ноль. При этом из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ следует, что $\cos x = 0$. Подставим эти значения в уравнение:
$3(1 - 1)^2 + 0 \cdot (4 \cdot 1 - 3) = 0 + 0 = 0$.
Равенство выполняется, следовательно, все значения $x$, для которых $\sin x = 1$, являются решениями. Это дает первую серию корней:
$x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\sin x \ne 1$
В этом случае множитель $(\sin x - 1)^2$ строго больше нуля. Перепишем уравнение в виде:
$\cos x(4 \sin x - 3) = -3(\sin x - 1)^2$.
Правая часть этого равенства всегда отрицательна. Следовательно, и левая часть должна быть отрицательной: $\cos x(4 \sin x - 3) < 0$. Это условие понадобится для отсева посторонних корней.

Чтобы решить уравнение, возведем обе его части в квадрат и заменим $\cos^2 x$ на $1 - \sin^2 x$. Для удобства введем замену $s = \sin x$:
$\cos^2 x(4s - 3)^2 = 9(s - 1)^4$
$(1 - s^2)(4s - 3)^2 = 9(s - 1)^4$.
Так как $(1-s^2) = (1-s)(1+s)$ и $(s-1)^4 = (1-s)^4$, получаем:
$(1 - s)(1 + s)(4s - 3)^2 = 9(1 - s)^4$.
Поскольку мы рассматриваем случай $s \ne 1$, можно разделить обе части на $(1 - s)$:
$(1 + s)(4s - 3)^2 = 9(1 - s)^3$.
Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим кубическое уравнение:
$25s^3 - 35s^2 + 12s = 0$.
Вынесем $s$ за скобку: $s(25s^2 - 35s + 12) = 0$.
Это уравнение дает три возможных значения для $s$: $s=0$ и корни квадратного уравнения $25s^2 - 35s + 12 = 0$.
Находим корни квадратного уравнения по формуле: $D = (-35)^2 - 4(25)(12) = 1225 - 1200 = 25 = 5^2$.
$s = \frac{35 \pm 5}{50}$. Отсюда $s_1 = \frac{40}{50} = \frac{4}{5}$ и $s_2 = \frac{30}{50} = \frac{3}{5}$.

Теперь проверим найденные значения $\sin x$ с помощью условия $\cos x(4\sin x - 3) < 0$:
• При $\sin x = 0$: условие принимает вид $-3\cos x < 0$, что эквивалентно $\cos x > 0$. Из $\sin x=0$ следует $\cos x=\pm 1$, поэтому выбираем $\cos x=1$. Этой паре значений соответствует серия корней $x = 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• При $\sin x = 4/5$: условие принимает вид $\cos x(4 \cdot \frac{4}{5} - 3) < 0$, то есть $\frac{1}{5}\cos x < 0$, что эквивалентно $\cos x < 0$. Из $\sin x=4/5$ следует $\cos x=\pm 3/5$, поэтому выбираем $\cos x=-3/5$. Этой паре соответствует серия корней $x = \arccos(-3/5) + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• При $\sin x = 3/5$: условие принимает вид $\cos x(4 \cdot \frac{3}{5} - 3) < 0$, то есть $-\frac{3}{5}\cos x < 0$, что эквивалентно $\cos x > 0$. Из $\sin x=3/5$ следует $\cos x=\pm 4/5$, поэтому выбираем $\cos x=4/5$. Этой паре соответствует серия корней $x = \arccos(4/5) + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2 \pi k, \; 2 \pi k, \; \arccos(\frac{4}{5}) + 2 \pi k, \; \arccos(-\frac{3}{5}) + 2 \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.