Номер 124, страница 421 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 124, страница 421.

Условие.

124 $|2x + 3| = x^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения уравнения $|2x + 3| = x^2$ воспользуемся свойством модуля. Уравнение вида $|A| = B$ равносильно совокупности двух уравнений $A = B$ и $A = -B$ при условии, что $B \ge 0$.

В данном уравнении правая часть $x^2$ всегда неотрицательна ($x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$), поэтому дополнительное условие выполняется всегда. Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности (то есть объединению решений) двух уравнений:

1) $2x + 3 = x^2$

2) $2x + 3 = -x^2$

Рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

Решим первое уравнение: $2x + 3 = x^2$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 4}{2}$.

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3$

$x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1$

Теперь решим второе уравнение: $2x + 3 = -x^2$.

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 + 2x + 3 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются только корни первого уравнения: $3$ и $-1$.

Выполним проверку найденных корней:

При $x=3$: $|2 \cdot 3 + 3| = |6+3| = |9| = 9$. Правая часть: $x^2 = 3^2 = 9$. Равенство $9=9$ верно.

При $x=-1$: $|2 \cdot (-1) + 3| = |-2+3| = |1| = 1$. Правая часть: $x^2 = (-1)^2 = 1$. Равенство $1=1$ верно.

Ответ: $-1; 3$.