Номер 113, страница 420 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 113, страница 420.

Условие.

113 $5(\sin 2x)^2 + 8(\cos x)^3 = 8 \cos x, x \in \left[\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right]$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Преобразуем исходное уравнение $5(\sin 2x)^2 + 8(\cos x)^3 = 8 \cos x$.

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$5\sin^2(2x) + 8\cos^3 x - 8\cos x = 0$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$:

$5(2\sin x \cos x)^2 + 8\cos^3 x - 8\cos x = 0$

$5 \cdot 4\sin^2 x \cos^2 x + 8\cos^3 x - 8\cos x = 0$

$20\sin^2 x \cos^2 x + 8\cos^3 x - 8\cos x = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $4\cos x$:

$4\cos x (5\sin^2 x \cos x + 2\cos^2 x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $4\cos x = 0$, откуда $\cos x = 0$.

2) $5\sin^2 x \cos x + 2\cos^2 x - 2 = 0$.

Решим первое уравнение:

$\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Теперь решим второе уравнение. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:

$5(1 - \cos^2 x)\cos x + 2\cos^2 x - 2 = 0$

$5\cos x - 5\cos^3 x + 2\cos^2 x - 2 = 0$

Умножим уравнение на -1 и расположим слагаемые по убыванию степеней $\cos x$:

$5\cos^3 x - 2\cos^2 x - 5\cos x + 2 = 0$

Разложим левую часть на множители методом группировки:

$(5\cos^3 x - 5\cos x) - (2\cos^2 x - 2) = 0$

$5\cos x(\cos^2 x - 1) - 2(\cos^2 x - 1) = 0$

$(\cos^2 x - 1)(5\cos x - 2) = 0$

Это уравнение также распадается на два:

$\cos^2 x - 1 = 0 \implies \cos^2 x = 1 \implies \cos x = \pm 1$.

$5\cos x - 2 = 0 \implies \cos x = \frac{2}{5}$.

Теперь найдем решения для каждого случая:

Для $\cos x = 1$ решение $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Для $\cos x = -1$ решение $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии можно объединить в одну: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Для $\cos x = \frac{2}{5}$ решение $x = \pm \arccos\left(\frac{2}{5}\right) + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Объединяя все найденные серии решений, получаем ответ для пункта а).

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad \pm \arccos\left(\frac{2}{5}\right) + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

б)

Произведем отбор корней, принадлежащих отрезку $\left[\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right]$.

1. Серия $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Решим неравенство: $\frac{3\pi}{2} \le \frac{\pi}{2} + \pi k \le 2\pi$.

Разделив на $\pi$: $\frac{3}{2} \le \frac{1}{2} + k \le 2$.

Вычтем $\frac{1}{2}$: $1 \le k \le \frac{3}{2}$.

Единственное целое значение $k$ в этом промежутке — это $k=1$.

Находим корень: $x = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 1 = \frac{3\pi}{2}$.

2. Серия $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Решим неравенство: $\frac{3\pi}{2} \le \pi n \le 2\pi$.

Разделив на $\pi$: $\frac{3}{2} \le n \le 2$.

Единственное целое значение $n$ в этом промежутке — это $n=2$.

Находим корень: $x = 2\pi$.

3. Серия $x = \pm \arccos\left(\frac{2}{5}\right) + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим случай $x = \arccos\left(\frac{2}{5}\right) + 2\pi m$.

Так как $0 < \arccos\left(\frac{2}{5}\right) < \frac{\pi}{2}$, при $m=0$ корень $x = \arccos\left(\frac{2}{5}\right)$ не попадает в заданный отрезок. При $m=1$ корень $x = \arccos\left(\frac{2}{5}\right) + 2\pi$ будет больше $2\pi$. При других целых $m$ корни также не попадут в отрезок.

Рассмотрим случай $x = -\arccos\left(\frac{2}{5}\right) + 2\pi m$.

При $m=1$ получаем корень $x = 2\pi - \arccos\left(\frac{2}{5}\right)$.

Оценим его значение. Известно, что $0 < \arccos\left(\frac{2}{5}\right) < \frac{\pi}{2}$.

Тогда, вычитая из $2\pi$, получаем:

$2\pi - \frac{\pi}{2} < 2\pi - \arccos\left(\frac{2}{5}\right) < 2\pi - 0$

$\frac{3\pi}{2} < 2\pi - \arccos\left(\frac{2}{5}\right) < 2\pi$

Этот корень принадлежит интервалу $\left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right)$, а значит и отрезку $\left[\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right]$.

При других целых $m$ корни не попадут в заданный отрезок.

Таким образом, в указанном отрезке находятся три корня.

Ответ: $\frac{3\pi}{2}, 2\pi, 2\pi - \arccos\left(\frac{2}{5}\right)$.