Номер 104, страница 420 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 104, страница 420.

Условие.

104 a) $ \sin 4x + \sqrt{3}\sin 3x + \sin 2x = 0 $

б) $ \cos 3x + \sin 5x = \sin x. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\sin 4x + \sqrt{3}\sin 3x + \sin 2x = 0$

Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулу суммы синусов: $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$(\sin 4x + \sin 2x) + \sqrt{3}\sin 3x = 0$

$2\sin\frac{4x+2x}{2}\cos\frac{4x-2x}{2} + \sqrt{3}\sin 3x = 0$

$2\sin 3x \cos x + \sqrt{3}\sin 3x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin 3x$ за скобки:

$\sin 3x (2\cos x + \sqrt{3}) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $\sin 3x = 0$

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$3x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $2\cos x + \sqrt{3} = 0$

$2\cos x = -\sqrt{3}$

$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Решение этого уравнения:

$x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm (\pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm (\pi - \frac{\pi}{6}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}, x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos 3x + \sin 5x = \sin x$

Перенесем $\sin x$ в левую часть уравнения, чтобы сгруппировать его с $\sin 5x$:

$\cos 3x + \sin 5x - \sin x = 0$

Применим к разности синусов формулу преобразования разности в произведение: $\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.

$\cos 3x + 2\sin\frac{5x-x}{2}\cos\frac{5x+x}{2} = 0$

$\cos 3x + 2\sin 2x \cos 3x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos 3x$ за скобки:

$\cos 3x (1 + 2\sin 2x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $\cos 3x = 0$

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$3x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $1 + 2\sin 2x = 0$

$2\sin 2x = -1$

$\sin 2x = -\frac{1}{2}$

Решение этого уравнения:

$2x = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$2x = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$2x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.