Номер 97, страница 419 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 97, страница 419.

Условие.

97 a) $4 \log_9 (x - 2) + \log_3 (x - 4)^2 = 0;$

б) $\log_2 182 - 4 \log_4 \sqrt{5 - x} = \log_2 (11 - x) + 1;$

в) $\log_x \sqrt{3} - \log_x^2 \sqrt{3} = \log_3 27 - \log_x (3x).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a) $4 \log_9(x - 2) + \log_3(x - 4)^2 = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

• $x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$
• $(x - 4)^2 > 0 \Rightarrow x \neq 4$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (2, 4) \cup (4, \infty)$.

Приведем логарифмы к одному основанию 3. Используем формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ и свойство логарифма степени $\log_a b^p = p \log_a |b|$ (для четной степени $p$).

$4 \log_{3^2}(x - 2) + 2 \log_3|x - 4| = 0$

$4 \cdot \frac{1}{2} \log_3(x - 2) + 2 \log_3|x - 4| = 0$

$2 \log_3(x - 2) + 2 \log_3|x - 4| = 0$

Разделим обе части на 2:

$\log_3(x - 2) + \log_3|x - 4| = 0$

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\log_3((x - 2)|x - 4|) = 0$

По определению логарифма:

$(x - 2)|x - 4| = 3^0 = 1$

Рассмотрим два случая, раскрывая модуль:

1. Если $x - 4 > 0$, то есть $x > 4$. Это удовлетворяет ОДЗ.

$(x - 2)(x - 4) = 1$

$x^2 - 4x - 2x + 8 - 1 = 0$

$x^2 - 6x + 7 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 - 28 = 8$.

$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 3 \pm \sqrt{2}$.

Проверяем корни на соответствие условию $x > 4$.

$x_1 = 3 + \sqrt{2} \approx 3 + 1.41 = 4.41$. Так как $4.41 > 4$, корень подходит.

$x_2 = 3 - \sqrt{2} \approx 3 - 1.41 = 1.59$. Так как $1.59 < 4$, корень не подходит для этого случая.

2. Если $x - 4 < 0$, то есть $x < 4$. С учетом ОДЗ, рассматриваем интервал $2 < x < 4$.

$(x - 2)(-(x - 4)) = 1$

$-(x - 2)(x - 4) = 1$

$-x^2 + 6x - 8 = 1$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x - 3)^2 = 0$

$x_3 = 3$. Этот корень принадлежит интервалу $2 < x < 4$ и удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $3; 3+\sqrt{2}$.

---

б) $\log_2 182 - 4\log_4 \sqrt{5-x} = \log_2(11-x) + 1$

Найдем ОДЗ:

• $5 - x > 0 \Rightarrow x < 5$
• $11 - x > 0 \Rightarrow x < 11$

Общая ОДЗ: $x < 5$.

Приведем все члены уравнения к логарифму по основанию 2.

$4\log_4 \sqrt{5-x} = 4\log_{2^2} (5-x)^{1/2} = 4 \cdot \frac{1}{2} \log_2 (5-x)^{1/2} = 2 \cdot \frac{1}{2} \log_2 (5-x) = \log_2(5-x)$.

$1 = \log_2 2$.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$\log_2 182 - \log_2(5-x) = \log_2(11-x) + \log_2 2$

Используем свойства логарифмов: $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$ и $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$.

$\log_2 \frac{182}{5-x} = \log_2(2(11-x))$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$\frac{182}{5-x} = 2(11-x)$

$182 = 2(11-x)(5-x)$

$91 = (11-x)(5-x)$

$91 = 55 - 11x - 5x + x^2$

$x^2 - 16x + 55 - 91 = 0$

$x^2 - 16x - 36 = 0$

Решаем квадратное уравнение по теореме Виета или через дискриминант. $D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 256 + 144 = 400 = 20^2$.

$x_{1,2} = \frac{16 \pm 20}{2}$

$x_1 = \frac{16 + 20}{2} = \frac{36}{2} = 18$.

$x_2 = \frac{16 - 20}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x < 5$).

$x_1 = 18$ не удовлетворяет условию $18 < 5$, это посторонний корень.

$x_2 = -2$ удовлетворяет условию $-2 < 5$.

Ответ: $-2$.

---

в) $\log_x \sqrt{3} - \log_x^2 \sqrt{3} = \log_3 27 - \log_x(3x)$

Найдем ОДЗ. Основание логарифма $x$ должно быть положительным и не равным единице, аргументы логарифмов - положительными.

• $x > 0$
• $x \neq 1$
• $3x > 0 \Rightarrow x > 0$

ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Упростим каждый член уравнения:

• $\log_x \sqrt{3} = \log_x 3^{1/2} = \frac{1}{2}\log_x 3$
• $\log_x^2 \sqrt{3} = (\frac{1}{2}\log_x 3)^2 = \frac{1}{4}(\log_x 3)^2$
• $\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$
• $\log_x(3x) = \log_x 3 + \log_x x = \log_x 3 + 1$

Подставим упрощенные выражения в уравнение:

$\frac{1}{2}\log_x 3 - \frac{1}{4}(\log_x 3)^2 = 3 - (\log_x 3 + 1)$

$\frac{1}{2}\log_x 3 - \frac{1}{4}(\log_x 3)^2 = 2 - \log_x 3$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_x 3$.

$\frac{1}{2}t - \frac{1}{4}t^2 = 2 - t$

Умножим все уравнение на 4, чтобы избавиться от дробей, и перенесем все члены в одну сторону:

$2t - t^2 = 8 - 4t$

$t^2 - 6t + 8 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1=2$ и $t_2=4$.

Выполним обратную замену:

1. Если $t = 2$:

$\log_x 3 = 2 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3}$.

С учетом ОДЗ ($x > 0$), подходит корень $x_1 = \sqrt{3}$.

2. Если $t = 4$:

$\log_x 3 = 4 \Rightarrow x^4 = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt[4]{3}$.

С учетом ОДЗ ($x > 0$), подходит корень $x_2 = \sqrt[4]{3}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\sqrt[4]{3}; \sqrt{3}$.