Номер 96, страница 419 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 96, страница 419.

Условие.

96 a) $ \log_3 \log_{\frac{9}{16}} (x^2 - 4x + 3) = 0; $

б) $ \log_{\frac{27}{11}} \log_5 (x^2 - 2x - 3) = 0; $

в) $ \log_{\frac{3}{7}} \log_6 (x^2 - 2x - 3) = 0; $

г) $ \log_{\frac{8}{3}} \log_{\frac{1}{2}} (x^2 - x - 5) = 0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $log_3(log_{\frac{9}{16}}(x^2 - 4x + 3)) = 0$
Данное уравнение является логарифмическим уравнением вида $log_a(f(x))=0$. Его решение эквивалентно решению уравнения $f(x) = a^0 = 1$ при условии, что $f(x) > 0$.
В нашем случае $a=3$, а $f(x) = log_{\frac{9}{16}}(x^2 - 4x + 3)$.
Получаем уравнение:
$log_{\frac{9}{16}}(x^2 - 4x + 3) = 3^0 = 1$
Теперь мы имеем логарифмическое уравнение вида $log_b(g(x))=1$, решение которого эквивалентно $g(x) = b^1 = b$ при условии $g(x) > 0$.
В нашем случае $b=\frac{9}{16}$, а $g(x) = x^2 - 4x + 3$.
Получаем уравнение:
$x^2 - 4x + 3 = (\frac{9}{16})^1 = \frac{9}{16}$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы решить квадратное уравнение:
$x^2 - 4x + 3 - \frac{9}{16} = 0$
$x^2 - 4x + \frac{48}{16} - \frac{9}{16} = 0$
$x^2 - 4x + \frac{39}{16} = 0$
Умножим уравнение на 16, чтобы избавиться от знаменателя:
$16x^2 - 64x + 39 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-64)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 39 = 4096 - 2496 = 1600 = 40^2$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{64 - 40}{2 \cdot 16} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{64 + 40}{2 \cdot 16} = \frac{104}{32} = \frac{13}{4}$
Условия области допустимых значений ($x^2 - 4x + 3 > 0$ и $log_{\frac{9}{16}}(x^2 - 4x + 3) > 0$) выполняются автоматически, так как в ходе решения мы получили $x^2 - 4x + 3 = \frac{9}{16}$ (что больше 0) и $log_{\frac{9}{16}}(x^2 - 4x + 3) = 1$ (что также больше 0).
Ответ: $x_1 = \frac{3}{4}, x_2 = \frac{13}{4}$.

б) $log_{\frac{27}{11}}(log_5(x^2 - 2x - 3)) = 0$
По определению логарифма, данное уравнение равносильно следующему:
$log_5(x^2 - 2x - 3) = (\frac{27}{11})^0 = 1$
Применим определение логарифма еще раз:
$x^2 - 2x - 3 = 5^1 = 5$
Перенесем 5 в левую часть и решим полученное квадратное уравнение:
$x^2 - 2x - 3 - 5 = 0$
$x^2 - 2x - 8 = 0$
Используем теорему Виета. Сумма корней равна 2, а произведение равно -8.
$x_1 + x_2 = 2$
$x_1 \cdot x_2 = -8$
Подбором находим корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$.
Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 4$.

в) $log_{\frac{3}{7}}(log_6(x^2 - 2x - 3)) = 0$
По определению логарифма, преобразуем уравнение:
$log_6(x^2 - 2x - 3) = (\frac{3}{7})^0 = 1$
Снова применяем определение логарифма:
$x^2 - 2x - 3 = 6^1 = 6$
Получаем квадратное уравнение:
$x^2 - 2x - 3 - 6 = 0$
$x^2 - 2x - 9 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 4 + 36 = 40$
$\sqrt{D} = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$
Находим корни:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 2\sqrt{10}}{2} = 1 - \sqrt{10}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 2\sqrt{10}}{2} = 1 + \sqrt{10}$
Ответ: $x_1 = 1 - \sqrt{10}, x_2 = 1 + \sqrt{10}$.

г) $log_{\frac{8}{3}}(log_{\frac{1}{2}}(x^2 - x - 5)) = 0$
Используя определение логарифма, получаем:
$log_{\frac{1}{2}}(x^2 - x - 5) = (\frac{8}{3})^0 = 1$
Еще раз применяем определение логарифма. Обратите внимание, что основание логарифма $\frac{1}{2}$ меньше 1.
$x^2 - x - 5 = (\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{2}$
Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:
$x^2 - x - 5 - \frac{1}{2} = 0$
$x^2 - x - \frac{10}{2} - \frac{1}{2} = 0$
$x^2 - x - \frac{11}{2} = 0$
Умножим уравнение на 2:
$2x^2 - 2x - 11 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-11) = 4 + 88 = 92$
$\sqrt{D} = \sqrt{92} = \sqrt{4 \cdot 23} = 2\sqrt{23}$
Находим корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 2\sqrt{23}}{2 \cdot 2} = \frac{2(1 \pm \sqrt{23})}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{23}}{2}$
Ответ: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{23}}{2}, x_2 = \frac{1 + \sqrt{23}}{2}$.