Номер 103, страница 419 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 103, страница 419.

Условие.

103 a) $sin(0.5\pi + x) + sin 2x = 0;$

б) $cos(0.5\pi + x) + sin 2x = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $sin(0,5\pi + x) + sin(2x) = 0$

Для решения этого уравнения мы воспользуемся формулой приведения и формулой двойного угла.

1. Применим формулу приведения $sin(0,5\pi + x) = sin(\frac{\pi}{2} + x) = cos(x)$.

После замены уравнение принимает вид:

$cos(x) + sin(2x) = 0$

2. Теперь применим формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$.

Подставим ее в уравнение:

$cos(x) + 2sin(x)cos(x) = 0$

3. Вынесем общий множитель $cos(x)$ за скобки:

$cos(x)(1 + 2sin(x)) = 0$

4. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1:

$cos(x) = 0$

Это частный случай тригонометрического уравнения, решениями которого являются:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2:

$1 + 2sin(x) = 0$

$2sin(x) = -1$

$sin(x) = -\frac{1}{2}$

Решения этого уравнения:

$x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $cos(0,5\pi + x) + sin(2x) = 0$

Для решения этого уравнения мы также воспользуемся формулой приведения и формулой двойного угла.

1. Применим формулу приведения $cos(0,5\pi + x) = cos(\frac{\pi}{2} + x) = -sin(x)$.

После замены уравнение принимает вид:

$-sin(x) + sin(2x) = 0$

2. Применим формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$.

Подставим ее в уравнение:

$-sin(x) + 2sin(x)cos(x) = 0$

3. Вынесем общий множитель $sin(x)$ за скобки:

$sin(x)(-1 + 2cos(x)) = 0$

4. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1:

$sin(x) = 0$

Это частный случай, решениями которого являются:

$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2:

$-1 + 2cos(x) = 0$

$2cos(x) = 1$

$cos(x) = \frac{1}{2}$

Решения этого уравнения:

$x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.