Номер 98, страница 419 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 98, страница 419.

Условие.

98. a) $5^{\lg x} = 50 - (10^{\lg 5})^{\lg x}$;

б) $3^{\lg x} = 54 - (10^{\lg 3})^{\lg x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $5^{\lg x} = 50 - (10^{\lg 5})^{\lg x}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием существования десятичного логарифма: $x > 0$.

Рассмотрим выражение в правой части уравнения: $(10^{\lg 5})^{\lg x}$.

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$. В нашем случае, основание степени равно 10, и логарифм также десятичный ($\lg c = \log_{10} c$).

Следовательно, $10^{\lg 5} = 5$.

Подставив это в выражение, получаем: $(10^{\lg 5})^{\lg x} = 5^{\lg x}$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$5^{\lg x} = 50 - 5^{\lg x}$

Произведем замену. Пусть $y = 5^{\lg x}$. Тогда уравнение примет вид:

$y = 50 - y$

$2y = 50$

$y = 25$

Вернемся к исходной переменной:

$5^{\lg x} = 25$

Так как $25 = 5^2$, получаем:

$5^{\lg x} = 5^2$

Приравниваем показатели степени:

$\lg x = 2$

По определению десятичного логарифма:

$x = 10^2$

$x = 100$

Полученный корень $x=100$ удовлетворяет ОДЗ ($100 > 0$).

Ответ: $100$.

б) $3^{\lg x} = 54 - (10^{\lg 3})^{\lg x}$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $x > 0$.

Упростим выражение $(10^{\lg 3})^{\lg x}$ в правой части.

Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$10^{\lg 3} = 3$

Тогда $(10^{\lg 3})^{\lg x} = 3^{\lg x}$.

Подставим упрощенное выражение обратно в уравнение:

$3^{\lg x} = 54 - 3^{\lg x}$

Сделаем замену. Пусть $t = 3^{\lg x}$. Уравнение принимает вид:

$t = 54 - t$

$2t = 54$

$t = 27$

Выполним обратную замену:

$3^{\lg x} = 27$

Представим 27 как степень тройки: $27 = 3^3$.

$3^{\lg x} = 3^3$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$\lg x = 3$

Из определения десятичного логарифма следует:

$x = 10^3$

$x = 1000$

Корень $x=1000$ удовлетворяет ОДЗ ($1000 > 0$).

Ответ: $1000$.