Номер 98, страница 419 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Задания для повторения - номер 98, страница 419.
№98 (с. 419)
Условие. №98 (с. 419)
скриншот условия

98. a) $5^{\lg x} = 50 - (10^{\lg 5})^{\lg x}$;
б) $3^{\lg x} = 54 - (10^{\lg 3})^{\lg x}$.
Решение 1. №98 (с. 419)


Решение 2. №98 (с. 419)

Решение 4. №98 (с. 419)
а) $5^{\lg x} = 50 - (10^{\lg 5})^{\lg x}$
Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием существования десятичного логарифма: $x > 0$.
Рассмотрим выражение в правой части уравнения: $(10^{\lg 5})^{\lg x}$.
Воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$. В нашем случае, основание степени равно 10, и логарифм также десятичный ($\lg c = \log_{10} c$).
Следовательно, $10^{\lg 5} = 5$.
Подставив это в выражение, получаем: $(10^{\lg 5})^{\lg x} = 5^{\lg x}$.
Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:
$5^{\lg x} = 50 - 5^{\lg x}$
Произведем замену. Пусть $y = 5^{\lg x}$. Тогда уравнение примет вид:
$y = 50 - y$
$2y = 50$
$y = 25$
Вернемся к исходной переменной:
$5^{\lg x} = 25$
Так как $25 = 5^2$, получаем:
$5^{\lg x} = 5^2$
Приравниваем показатели степени:
$\lg x = 2$
По определению десятичного логарифма:
$x = 10^2$
$x = 100$
Полученный корень $x=100$ удовлетворяет ОДЗ ($100 > 0$).
Ответ: $100$.
б) $3^{\lg x} = 54 - (10^{\lg 3})^{\lg x}$
Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $x > 0$.
Упростим выражение $(10^{\lg 3})^{\lg x}$ в правой части.
Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:
$10^{\lg 3} = 3$
Тогда $(10^{\lg 3})^{\lg x} = 3^{\lg x}$.
Подставим упрощенное выражение обратно в уравнение:
$3^{\lg x} = 54 - 3^{\lg x}$
Сделаем замену. Пусть $t = 3^{\lg x}$. Уравнение принимает вид:
$t = 54 - t$
$2t = 54$
$t = 27$
Выполним обратную замену:
$3^{\lg x} = 27$
Представим 27 как степень тройки: $27 = 3^3$.
$3^{\lg x} = 3^3$
Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:
$\lg x = 3$
Из определения десятичного логарифма следует:
$x = 10^3$
$x = 1000$
Корень $x=1000$ удовлетворяет ОДЗ ($1000 > 0$).
Ответ: $1000$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 98 расположенного на странице 419 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №98 (с. 419), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.